第4章 三角函数、解三角形 第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(3)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sinα.(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.(4)当k为奇数时，sinα＝13，当k为偶数时，sinα＝－13.2.求值：cos2023π6＝________.答案－32解析cos337π＋π6＝－cosπ6＝－32.3.若cosα＝33，则tanα＝________.答案±2解析因为cosα＝33，所以sinα＝±1－cos2α＝±1－332＝±63.故tanα＝sinαcosα＝±2.4.(易错题)已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为________.答案－23解析：∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝718.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，∴sinθ－cosθ＝－23.5.(2022·昆明诊断)若cosπ3－α＝15，则sinπ6＋α＝________.答案15解析sinπ6＋α＝sinπ2－π3－α＝cosπ3－α＝15.6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sinπ2＋α，则sin2α－12sin2α－cos2α＝________.答案－113解析由2sin(π－α)＝3sinπ2＋α，得2sinα＝3cosα.所以tanα＝32，从而sin2α－12sin2α－cos2α＝sin2α－sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－tanα－1tan2α＋1＝－113.考点一诱导公式的应用1.化简：sin－α－3π2sin3π2－αtan2（2π－α）cosπ2－αcosπ2＋αsin（π＋α）＝________.答案－1sinα解析原式＝cosα（－cosα）tan2αsinα（－sinα）（－sinα）＝－1sinα.2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα＝13，则sinβ＝________.答案13解析由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.∵sinα＝13，∴sinβ＝sin(π＋2kπ－α)＝sinα＝13.3.(2022·皖北名校联考)sin613°＋cos1063°＋tan(－30°)的值为________.答案－33解析sin613°＋cos1063°－tan30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan30°＝－sin73°＋cos(－17°)－tan30°＝－cos17°＋cos17°－33＝－33.感悟提升1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.考点二同角三角函数基本关系及其应用角度1切弦互化例1(1)已知α是第四象限角，tanα＝－815，则sinα等于()A.1517B.－1517C.817D.－817(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则sinθ（1＋sin2θ）sinθ＋cosθ＝()A.－65B.－25C.25D.65答案(1)D(2)C解析(1)因为tanα＝－815，所以sinαcosα＝－815，所以cosα＝－158sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝64289，又α是第四象限角，所以sinα＝－817.(2)因为tanθ＝－2，所以sinθ（1＋sin2θ）sinθ＋cosθ＝sinθ（sinθ＋cosθ）2sinθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ1＋tan2θ＝4－21＋4＝25.角度2sinα±cosα与sinαcosα的转化例2若sinθ－cosθ＝43，且θ∈34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A.－23B.23C.－43D.43答案A解析由sinθ－cosθ＝43得1－2sinθcosθ＝169，即2sinθcosθ＝－79，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝29.又θ∈34π，π，∴sinθ＋cosθ＜0，∴sinθ＋cosθ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sinθ＋cosθ＝－23，故选A.感悟提升1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)形如asinx＋bcosxcsinx＋dcosx，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.训练1(1)(2022·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cosα＝－35，则tanα等于()A.34B.－34C.43D.－43(2)(2022·成都联考)在△ABC中，sinA·cosA＝－18，则cosA－sinA的值为()A.－32B.－52C.52D.±32(3)(2021·兰州诊断)已知sinα＋cosα＝75，则tanα＝________.答案(1)D(2)B(3)43或34解析(1)因为cosα＝－35且α∈(0，π)，所以sinα＝1－cos2α＝45，所以tanα＝sinαcosα＝－43.(2)∵在△ABC中，sinA·cosA＝－18，∴A为钝角，∴cosA－sinA＜0，∴cosA－sinA＝－（cosA－sinA）2＝－cos2A＋sin2A－2sinAcosA＝－1－2×－18＝－52.(3)将sinα＋cosα＝75两边平方得1＋2sinαcosα＝4925，∴sinαcosα＝1225，∴sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝1225，整理得12tan2α－25tanα＋12＝0，解得tanα＝43或tanα＝34.考点三同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用例3(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.53B.23C.13D.59(2)已知cosπ6－θ＝a(|a|≤1)，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________.答案(1)A(2)0解析(1)由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sinα＝1－cos2α＝1－－232＝53.故选A.(2)∵cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a，sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，∴cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.感悟提升1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.训练2(1)已知θ为第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，则tanθ＝________；(2)已知tanπ6－α＝33，则tan5π6＋α＝________.答案(1)－43(2)－33解析(1)由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－43.(2)∵π6－α＋5π6＋α＝π，∴tan5π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.1.sin1050°等于()A.12B.－12C.32D.－32答案B解析sin1050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin30°＝－12.2.若角α的终边在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A.3B.－3C.1D.－1答案B解析由角α的终边在第三象限，得sinα＜0，cosα＜0，故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3，故选B.3.已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tan(π＋α)等于()A.－513B.513C.－125D.125答案C解析因为α是第四象限角，sinα＝－1213，所以cosα＝1－sin2α＝513，故tan(π＋α)＝tanα＝sinαcosα＝－125.4.已知sinα－cosα＝54，则sin2α＝()A.－916B.－716C.716D.916答案A解析∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α，∴sin2α＝1－542＝－916.5.已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ等于()A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案A解析∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sinθ＝cosθ，∴tanθ＝－33，∵|θ|π2，∴θ＝－π6.6.若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋2sinαcosα的值为()A.103B.53C.23D.－2答案A解析由3sinα＋cosα＝0，得tanα＝－13，则1cos2α＋2sinαcosα＝sin2α＋cos2αcos2α＋2si