第4章 三角函数、解三角形 第3节　三角恒等变换 第二课时　简单的三角恒等变换

第二课时简单的三角恒等变换考点一三角函数式的化简1.sin（180°＋2α）1＋cos2α·cos2αcos（90°＋α）等于()A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα答案D解析原式＝－sin2α·cos2α2cos2α（－sinα）＝－2sinαcosα·cos2α2cos2α（－sinα）＝cosα.2.化简：21＋sin4＋2＋2cos4等于()A.2cos2B.2sin2C.4sin2＋2cos2D.2sin2＋4cos2答案B解析21＋sin4＋2＋2cos4＝2sin22＋2sin2cos2＋cos22＋2＋2（2cos22－1）＝2（sin2＋cos2）2＋4cos22＝2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.∵π22π，∴cos20，∵sin2＋cos2＝2sin2＋π4，02＋π4π，∴sin2＋cos20，∴原式＝2(sin2＋cos2)－2cos2＝2sin2.3.化简：(1tanα2－tanα2)·1＋tanα·tanα2＝________.答案2sinα解析(1tanα2－tanα2)·(1＋tanα·tanα2)＝(cosα2sinα2－sinα2cosα2)·(1＋sinαcosα·sinα2cosα2)＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.感悟提升1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.考点二三角函数式的求值角度1给角求值例1(1)cos40°cos25°1－sin40°的值为()A.1B.3C.2D.2(2)cos20°·cos40°·cos100°＝________.答案(1)C(2)－18解析(1)原式＝cos220°－sin220°cos25°（cos20°－sin20°）＝cos20°＋sin20°cos25°＝2cos25°cos25°＝2.(2)cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.角度2给值求值例2(1)(2021·哈尔滨模拟)若sinα＋cosα＝15，α∈(0，π)，则1＋tanα21－tanα2的值为()A.－3B.－13C.13D.3(2)(2022·武汉检测)已知sin4x＋3cos4xsin2x－3cos2x＝－12，则cos4x－2π3＝()A.58B.－78C.－58D.14答案(1)A(2)B解析(1)因为sinα＋cosα＝15，所以sin2α＋cos2α＝sin2α＋15－sinα2＝1，可得25sin2α－5sinα－12＝0，解得sinα＝45或－35.又因为α∈(0，π)，所以sinα＝45，所以cosα＝15－45＝－35，则1＋tanα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα22cosα2－sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sinαcosα＝1＋45－35＝－3，故选A.(2)sin4x＋3cos4xsin2x－3cos2x＝2sin4x＋π3－2cos2x＋π6＝－2sin2x＋π6＝－12，故sin2x＋π6＝14.而sin2x＋π6＝sinπ2＋2x－π3＝cos2x－π3＝14，所以cos4x－2π3＝2cos22x－π3－1＝18－1＝－78.角度3给值求角例3(1)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________.答案(1)π3(2)－3π4解析(1)∵0βαπ2，∴0α－βπ2，sinα＝437.又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.又0βπ2，∴β＝π3.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝130，又α∈(0，π)，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.感悟提升1.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.2.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好.训练1(1)(2021·许昌模拟)计算2cos10°－sin20°cos20°所得的结果为()A.1B.2C.3D.2(2)(2022·新高考五省五校联考)已知α∈0，π2，sinα－π4＝33，则tanα＝________.(3)已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝______，2α－β＝______.答案(1)C(2)3＋22(3)17π3解析(1)2cos10°－sin20°cos20°＝2cos（30°－20°）－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝3，故选C.(2)∵α∈0，π2，∴α－π4∈－π4，π4，∵sinα－π4＝33，∴cosα－π4＝63，α－π4∈0，π4，则tanα－π4＝22，则tanα＝tanα－π4＋π4＝22＋11－22＝3＋22.(3)因为cosα＝277，所以cos2α＝2cos2α－1＝17.又因为α，β均为锐角，sinβ＝3314，所以sinα＝217，cosβ＝1314，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.考点三三角恒等变换的应用例4已知函数f(x)＝24sinπ4－x＋64·cosπ4－x.(1)求函数f(x)在区间π4，3π2上的最值；(2)若cosθ＝45，θ∈3π2，2π，求f(2θ＋π3)的值.解(1)由题意得f(x)＝24·sinπ4－x＋64cosπ4－x＝22×12sinπ4－x＋32cosπ4－x＝－22·sinx－7π12.因为x∈π4，3π2，所以x－7π12∈－π3，11π12，所以sinx－7π12∈－32，1，所以－22sinx－7π12∈－22，64，即函数f(x)在区间π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22.(2)因为cosθ＝45，θ∈3π2，2π，所以sinθ＝－35，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1625－925＝725，所以f2θ＋π3＝－22sin2θ＋π3－7π12＝－22·sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ)＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×725＋2425＝3150.感悟提升1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)tanφ＝ba，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.训练2已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且fα4－π8＝22，求tanα＋π3的值.解(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，所以函数f(x)的最小正周期T＝π2.令2kπ＋π2≤4x＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ2＋π16≤x≤kπ2＋5π16，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为kπ2＋π16，kπ2＋5π16，k∈Z.(2)因为fα4－π8＝22，所以sinα－π4＝1.又α∈(0，π)，所以－π4＜α－π4＜3π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4，因此tanα＋π3＝tan3π4＋tanπ31－tan3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－3.万能公式sinα＝2tanα21＋tan2α2，cosα＝1－tan2α21＋tan2α2，tanα＝2tanα21－tan2α2.注意：(1)上述三个公式统称为万能公式.(2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了.例已知2sinθ＋cosθsinθ－3cosθ＝－5，求3cos2θ＋4sin2θ的值.解∵2sinθ＋cosθsinθ－3cosθ＝－5，∴cosθ≠0(否则2＝－5)，∴2tanθ＋1tanθ－3＝－5，解得tanθ＝2.∴原式＝3（1－tan2θ）1＋tan2θ＋4×2tanθ1＋tan2θ＝3（1－22）1＋22＋4×2×21＋22＝75.1.sin15°cos15°等于()A.－14B.14C.－12D.12答案B解析sin15°cos15°＝12sin30°＝14.2.已知sinα－cosα＝15，0≤α≤π，则cos2α等于()A.－2425B.2425C.－725D.725答案C解析∵sinα－cosα＝15，sin2α＋cos2α＝1，0≤α≤π，∴sinα＝45，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2452＝－725.3.计算4tanπ123tan2π12－3等于()A.233B.－233C.239D.－239答案D解析原式＝－23·2tanπ121－tan2π12＝－23tanπ6＝－23×33＝－239.4.已知cosα＋π6＝13，则sin2α－π6＝()A.－79B.79C