第4章 三角函数、解三角形 第4节　三角函数的图象与性质

第4节三角函数的图象与性质考试要求1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无1.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝2π|ω|，函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝π|ω|.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14T，其中T为周期，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12T，其中T为周期.3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.()(2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数y＝tanx在每一个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k0时，ymax＝k＋1；当k0时，ymax＝－k＋1.2.函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是()A.x∈Rx≠π6B.x∈Rx≠－π12C.x∈Rx≠kπ＋π6（k∈Z）D.x∈Rx≠kπ2＋π6（k∈Z）答案D解析由2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π6，k∈Z.3.下列函数中，是奇函数的是()A.y＝|cosx＋1|B.y＝1－sinxC.y＝－3sin(2x＋π)D.y＝1－tanx答案C解析选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin2x，所以是奇函数，选C.4.(易错题)函数y＝cos2x＋sinx的值域为()A.[－1，1]B.1，54C.－1，54D.[0，1]答案C解析y＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1＝－sinx－122＋54，∴当sinx＝12时，ymax＝54.当sinx＝－1时，ymin＝－1.5.函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是________.答案π6.(易错题)函数y＝tanx＋π4的图象的对称中心是________.答案kπ2－π4，0，k∈Z解析由x＋π4＝kπ2，k∈Z，得x＝kπ2－π4，k∈Z，∴对称中心是kπ2－π4，0，k∈Z.考点一三角函数的定义域和值域1.函数y＝sinx－cosx的定义域为______.答案2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)解析要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.2.函数f(x)＝sinx－π4－cosx－π4的最大值为________.答案2解析f(x)＝sinx－π4－cosx－π4＝2sinx－π4－π4＝2sinx－π2＝－2cosx，所以当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f(x)max＝2.3.函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________.答案－4解析因为f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1，1]，所以g(t)＝－2t2－3t＋1.又函数g(t)图象的对称轴t＝－34∈[－1，1]，且开口向下，所以当t＝1时，g(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.4.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.答案－12－2，1解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－1＋222.∴函数的值域为－12－2，1.感悟提升1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1(1)(2022·成都调研)在函数①y＝cos|x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的函数有()A.①③B.①④C.②④D.②③(2)已知函数f(x)＝asinx＋cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝π6对称，则函数g(x)＝sinx＋acosx的图象()A.关于点π3，0对称B.关于点2π3，0对称C.关于直线x＝π3对称D.关于直线x＝π6对称(3)(2022·西安调研)已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋π3)θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为________.答案(1)D(2)C(3)π6解析(1)①y＝cos|x|＝cosx，最小正周期为2π，错误；②y＝|cosx|，最小正周期为π，正确；③y＝cos2x＋π6，最小正周期为2π2＝π，正确；④y＝tan2x－π4最小正周期为π2，错误.故选D.(2)由题意知f(0)＝fπ3，所以1＝32a＋12，a＝33，所以g(x)＝sinx＋33cosx＝233sinx＋π6，当x＝π3时，x＋π6＝π2，所以直线x＝π3为对称轴，点π3，0不为对称中心，A错误，C正确；当x＝2π3时，x＋π6＝5π6，所以点2π3，0不为对称中心，B错误；当x＝π6时，x＋π6＝π3，所以直线x＝π6不为对称轴，D错误，故选C.(3)∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z).又θ∈－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意.感悟提升1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝2π|ω|或T＝π|ω|求解.2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z).3.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.训练1(1)(2022·河南名校联考)已知函数f(x)＝sin2022x＋π4＋cos2022x－π4的最大值为M，若存在实数m，n，使得对任意实数x总有f(m)≤f(x)≤f(n)成立，则M·|m－n|的最小值为()A.π2022B.π1011C.π505D.3π1011(2)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的最小正周期为4π，且∀x∈R有f(x)≤fπ3成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.答案(1)B(2)2kπ＋4π3，0，k∈Zx＝2kπ＋π3，k∈Z解析(1)令α＝2022x＋π4，则f(x)＝sinα＋cosα－π2＝sinα＋sinα＝2sinα＝2sin2022x＋π4，其最小正周期T＝2π2022＝π1011.由题意可知，M＝2，|m－n|min＝12T，∴M|m－n|的最小值为π1011.故选B.(2)由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，因为f(x)≤fπ3恒成立，所以f(x)max＝fπ3，即12×π3＋φ＝2kπ(k∈Z).又∵|φ|π2，所以φ＝－π6，故f(x)＝cos12x－π6，令12x－π6＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝4π3＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为2kπ＋4π3，0，k∈Z.令12x－π6＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋π3(k∈Z)，故f(x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋π3，k∈Z.考点三三角函数的单调性角度1求三角函数的单调区间例2(1)函数f(x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为()A.0，5π6B.0，2π3C.5π6，πD.2π3，π(2)函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调递减区间为________.答案(1)C(2)kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)解析(1)由2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得2kπ－7π6≤x≤2kπ－π6，k∈Z.∵x∈[0，π]，∴5π6≤x≤π，∴函数f(x)在[0，π]的单调递增区间为5π6，π，故选C.(2)f(x)＝sin－2x＋π3＝sin－2x－π3＝－sin2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z).角度2利用单调性比较大小例3已知函数f(x)＝2cosx＋π6，设a＝f