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第7节解三角形的应用考试要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.2.(易错题)若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°答案B解析如图所示，∠ACB＝90°.又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.3.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A.502mB.503mC.252mD.2522m答案A解析在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，∴AB＝ACsin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝502(m).4.(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝()A.表高×表距表目距的差＋表高B.表高×表距表目距的差－表高C.表高×表距表目距的差＋表距D.表高×表距表目距的差－表距答案A解析因为FG∥AB，所以FGAB＝GCCA，所以GC＝FGAB·CA.因为DE∥AB，所以DEAB＝EHAH，所以EH＝DEAB·AH.又DE＝FG，所以GC－EH＝DEAB·(CA－AH)＝DEAB·HC＝DEAB·(HG＋GC)＝DEAB·(EG－EH＋GC).由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差＝表高AB×(表距＋表目距的差)，所以AB＝表高表目距的差×(表距＋表目距的差)＝表高×表距表目距的差＋表高.5.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84m，则塔高CD＝______m.答案127解析设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝3xm.由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理得842＝x2＋(3x)2－23·x2cos150°，解得x＝127(负值舍去)，故塔高为127m.6.(2022·菏泽模拟)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则下午2时两船之间的距离是________nmile.答案70解析设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即两船相距70nmile.考点一解三角形的实际应用角度1测量距离问题例1如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900，故PQ＝900，∴P，Q两点间的距离为900m.感悟提升距离问题的类型及解法：(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.角度2测量高度问题例2(2021·北京海淀区模拟)2021年7月1日，在庆祝中国共产党成立100周年大会中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目，飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析.一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以722km/h的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1min后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升飞机飞行的高度为________km.(结果保留根号)答案235解析如图，过点O作AB的垂线，垂足为E.由题意知∠EOA＝60°，∠EOB＝75°，∠COB＝30°，AB＝72260＝625.设OE＝x，则AE＝xtan∠EOA＝3x，BE＝xtan∠EOB＝xtan(45°＋30°)＝x·1＋331－33＝(2＋3)x，所以AB＝AE＋BE＝(2＋23)x＝625，解得x＝325（3＋1），所以OB＝OEcos75°＝OEcos（45°＋30°）＝325（3＋1）×46－2＝65，所以BC＝OBtan∠COB＝65×33＝235，即直升飞机飞行的高度为235km.感悟提升1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.角度3测量角度问题例3已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？参考数据：sin38°≈5314，sin22°＝3314解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5.依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝5×327＝5314，所以∠ABC＝38°.又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.感悟提升1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.训练1(1)为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为()A.2kmB.2kmC.42kmD.4km(2)如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A.30°B.45°C.60°D.75°(3)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.答案(1)B(2)B(3)1006解析(1)∵∠ABD＝60°，∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，∴AB＝BD＝AD＝2km.∵△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝105°，∴∠ACB＝30°.由正弦定理得ACsin45°＝ABsin30°，解得AC＝22km.∵△ACD中，∠CAD＝105°－60°＝45°，∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos45°＝4，∴CD＝2km，即C，D间的距离为2km.(2)依题意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝600060002＝22.又0°∠CAD180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.(3)由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002(m).在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m).考点二正弦定理、余弦定理在平面几何中的应用例4(2022·河南、河北重点中学联考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2ccosC＝b，D，E均为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.(1)求线段AD的长；(2)求△ADE的面积.解(1)因为c＝4，b＝2，2ccosC＝b，所以cosC＝b2c＝14.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4－164a＝14，所以a＝4，即BC＝4.在△ACD中，CD＝2，AC＝2，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cosC＝6，所以AD＝6.(2)因为AE是∠BAC的平分线，所以S△ABES△ACE＝12AB·AE·sin∠BAE12AC·AE·sin∠CAE＝ABAC＝2.又S△ABES△ACE＝BEEC，所以BEEC＝2，所以EC＝13BC＝43，DE＝DC－EC＝2－43＝23.又因为cosC＝14，所以sinC＝1－cos2C＝154，所以S△ADE＝S△ACD－S△ACE＝12AC·CDsinC－12AC·ECsinC＝12AC·(CD－EC)sinC＝12DE·ACsinC＝156.即△ADE的面积为156.感悟提升1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.训练2(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.(1)证明因为BDsin∠ABC＝asinC，所以由正弦定理得BD·b＝ac.又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b0，所以BD＝b.(2)解如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，因为AD＝2DC，所以AEEB＝ADDC＝2，DEBC＝23，所以BE＝c3，DE＝23a.在△BDE中，cos∠BED＝BE2＋DE2－BD22BE·DE＝c29