第5章 平面向量与复数 第1节　平面向量的概念及线性运算

第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An-1An→＝A1An→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→).3.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)若b＝0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.2.(易错题)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等.则所有正确命题的序号是()A.①B.③C.①③D.①②答案A解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误.3.设M为△ABC所在平面内一点，且BC→＝3CM→，则()A.AM→＝－13AB→＋43AC→B.AM→＝13AB→－43AC→C.AM→＝43AB→＋13AC→D.AM→＝43AB→－13AC→答案A解析由BC→＝3CM→，得CM→＝13BC→，所以AM→＝AC→＋CM→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(BA→＋AC→)＝－13AB→＋43AC→.4.(2021·长沙调研)已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且OA→＋OB→＋CO→＝0，则△ABC的内角A等于()A.30°B.45°C.60°D.90°答案A解析由OA→＋OB→＋CO→＝0，得OA→＋OB→＝OC→.又O为△ABC的外接圆的圆心，根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.5.若四边形ABCD满足AD→∥BC→且|AB→|＝|DC→|，则四边形ABCD的形状是________.答案等腰梯形或平行四边形解析当|AD→|＝|BC→|时，四边形ABCD是平行四边形；当|AD→|≠|BC→|时，四边形ABCD是等腰梯形.6.(2022·哈尔滨质检)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.答案－12解析由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0.因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以1－2k＝0，k＋λ＝0，解得k＝12，λ＝－12.考点一平面向量的概念1.给出下列命题，正确的命题为()A.向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C.|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D.若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同答案A解析对于A，向量AB→与向量BA→的长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同.2.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A.a＝－bB.a∥bC.a＝2bD.a∥b且|a|＝|b|答案C解析因为向量a|a|的方向与向量a方向相同，向量b|b|的方向与向量b方向相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件.3.给出下列说法：①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；②若AB→与BC→共线，则A，B，C三点在同一条直线上；③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.其中错误说法的序号是________.答案④解析根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故④错误.感悟提升1.相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.2.向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等.3.单位向量的特征是长度都是1个单位，零向量的特征是长度是0，并规定零向量与任何向量平行.考点二向量的线性运算角度1平面向量的加、减运算的几何意义例1在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→答案A解析作出示意图如图所示.EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.角度2向量的线性运算例2在△ABC中，BD→＝13BC→，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→等于()A.23a＋13bB.13a＋23bC.13a－23bD.23a－13b答案A解析如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD→＝AE→＋AF→.因为BD→＝13BC→，所以AE→＝23AB→，AF→＝13AC→，所以AD→＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.角度3利用向量的线性运算求参数例3(2022·长春调研)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若AF→＝xAB→＋34AD→，则x＝()A.34B.23C.12D.14答案C解析连接AE(图略)，因为F为DE的中点，所以AF→＝12(AD→＋AE→)，而AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12BC→＝AB→＋12AD→，即有AF→＝12(AD→＋AE→)＝12AD→＋AB→＋12AD→＝12AB→＋34AD→，又AF→＝xAB→＋34AD→，所以x＝12.感悟提升1.解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.3.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值.训练1(1)在△ABC中，BC→＝43BD→，F为AD的中点，则BF→等于()A.23AC→－76AB→B.38AC→－78AB→C.－38AC→－18AB→D.38AC→－98AB→(2)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，若AD→＝λAB→＋μAC→，则λ－μ＝()A.－53B.－43C.43D.53答案(1)B(2)A解析(1)BF→＝12BA→＋12BD→＝－12AB→＋12×34BC→.又因为BC→＝AC→－AB→，所以BF→＝38AC→－78AB→.(2)由BC→＝3CD→，可知B，C，D三点在同一直线上，如图所示.根据题意及图形，可得AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→，所以λ＝－13，μ＝43，所以λ－μ＝－13－43＝－53.故选A.考点三共线定理及其应用例4设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b).∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.感悟提升利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB→，AC→共线.(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.训练2(1)(2022·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是()A.λμ＝1B.λμ＝－1C.λ－μ＝－1D.λ＋μ＝2(2)已知O为△ABC内一点，且2AO→＝OB→＋OC→，AD→＝tAC→，若B，O，D三点共线，则t的值为________.答案(1)A(2)13解析(1)∵AB→与AC→有公共点，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t，使AB→＝tAC→，即λa＋b＝ta＋μtb，则λ＝t，μt＝1，消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB→＝1μa＋b，此时存在实数1μ使AB→＝1μAC→，故AB→和AC→共线.∵AB→与AC→有公共点，∴A，B，C三点共线.(2)设线段BC的中点为M，则OB→＋OC→＝2OM→.因为2AO→＝OB→＋OC→，所以AO→＝OM→，则AO→＝12AM→＝14(AB→＋AC→)＝14(AB→＋1tAD→)＝14AB→＋14tAD→.由B，O，D三点共线，得14＋14t＝1，解得t＝13.“等和线”的应用一、等和线定理平面内一组基底OA→，OB→及任一向量OC→，OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，若点C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为“等和线”.(1)当等和线恰为直线AB时