第5章 平面向量与复数 第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).3.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ结论符号表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤（x21＋y21）（x22＋y22）1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.2.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，4)，则(a－b)·a＝()A.－14B.－4C.4D.14答案B解析由题意得a－b＝(－1，－3)，则(a－b)·a＝－1－3＝－4.3.已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A.－3B.－2C.2D.3答案C解析因为BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，所以|BC→|＝12＋（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC→＝(1，0)，所以AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2.4.(2022·江南名校模拟)已知平面向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，若(2a－b)·b＝0，则向量a，b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案C解析由(2a－b)·b＝0，可得a·b＝12b2＝12.设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝12.又θ∈[0，π]，所以向量a，b的夹角为π3.5.已知AB→＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量AB→在CD→方向上的投影为________；向量CD→在AB→方向上的投影为________.答案－322－355解析因为CD→＝(1，－1)，向量AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|＝－322，同理CD→在AB→方向上的投影为AB→·CD→|AB→|＝－355.6.(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.答案－103解析由题意得c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1).又a⊥c，所以a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－103.考点一向量数量积的基本概念及运算1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝23，a与b的夹角的余弦值为sin17π3，则b·(2a－b)等于()A.2B.－1C.－6D.－18答案D解析由题意知cos〈a，b〉＝sin17π3＝sin6π－π3＝－sinπ3＝－32，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×23×－32＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.2.若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝()A.0B.4C.－92D.－172答案D解析由题意得(2k－1)×1－4×k＝0，解得k＝－12，即m＝－2，－12，所以m·n＝－2×4＋－12×1＝－172.3.(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP→＝12()AB→＋AC→，则|PD→|＝__________；PB→·PD→＝__________.答案5－1解析法一∵AP→＝12(AB→＋AC→)，∴P为BC的中点.以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD→|＝（2－0）2＋（1－2）2＝5.易得PB→＝(0，－1)，PD→＝(－2，1)，∴PB→·PD→＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.法二如图，在正方形ABCD中，由AP→＝12(AB→＋AC→)得点P为BC的中点，∴|PD→|＝12＋22＝5.PB→·PD→＝PB→·(PC→＋CD→)＝PB→·PC→＋PB→·CD→＝－PB→2＋0＝－1.感悟提升解决向量数量积的运算问题的三个思路(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解.(2)把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算.(3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标计算法，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.考点二向量数量积的性质及应用角度1夹角与垂直例1(1)已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为()A.π3B.π6C.π4D.π2(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A.a＋2bB.2a＋bC.a－2bD.2a－b答案(1)C(2)D解析(1)设向量a和b的夹角为θ，因为a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，所以b＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，所以cosθ＝a·b|a||b|＝（1，1）·（2，0）2×4＋0＝22.又0≤θ≤π，所以θ＝π4.(2)易知a·b＝|a||b|cos60°＝12，则b·(a＋2b)＝52≠0，b·(2a＋b)＝2≠0，b·(a－2b)＝a·b－2b2＝－32≠0，b·(2a－b)＝0.因此b⊥(2a－b).角度2平面向量的模例2(1)(2022·南昌模拟)设x，y∈R，a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|2a＋3b－c|＝()A.234B.26C.12D.210(2)已知a，b是单位向量且a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________.答案(1)A(2)2＋1解析(1)因为a⊥c，所以a·c＝－2x＋2＝0，解得x＝1，则a＝(1，1).因为b∥c，所以4＋2y＝0，解得y＝－2，则b＝(2，－2)，所以2a＋3b－c＝(10，－6)，则|2a＋3b－c|＝234.(2)法一由a·b＝0，得a⊥b.如图所示，分别作OA→＝a，OB→＝b，作OC→＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC→|＝2.作OP→＝c，则|c－a－b|＝|OP→－OC→|＝|CP→|＝1.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，|OP→|取得最大值2＋1.故|c|的最大值是2＋1.法二由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1).设c＝OC→＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.所以|c|max＝2＋1.法三易知|a＋b|＝2，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－2|，由已知得||c|－2|≤1，所以|c|≤1＋2，故|c|max＝2＋1.感悟提升1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2.若题目给出向量的坐标，可直接运用公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解.没有坐标时可用公式cosθ＝a·b|a||b|.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π].3.向量模的计算主要利用a2＝|a|2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率.训练1(1)(2022·太原质检)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb与b垂直，则λ＝()A.－2B.2C.－1D.1(2)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案(1)C(2)1解析(1)∵a＋λb与b垂直，∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1.(2)法一由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.法二如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，又e1，e2是单位向量，所以|AB→|＝|AD→|＝1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以AC→＝e1＋e2，DB→＝e1－e2，因为|e1＋e2|＝3，即|AC→|＝3，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|DB→|＝1，即|e1－e2|＝1.考点三平面向量的综合应用角度1平面向量与平面几何例3(1)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形(2)已知A，B是半径为2的⊙O上的两个点，OA→·OB→＝1，⊙O所在平面上有一点C满足|OA→＋OB→－OC→|＝1，则向量OC→的模的取值范围是________.答案(1)A(2)[6－1，6＋1]解析(1)因为(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，所以CB→·(AB→＋AC→)＝0，即CB→⊥(AB→＋AC→)，所以△ABC的中线和底边垂直，所以△ABC是等腰三角形.(2)以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，A(2，0).由OA→·OB→＝1，|OA→|＝|OB→|＝2，得∠AOB＝π3，于是B22，62，设C(x，y)，则x－3222＋y－622＝1.问题转化求圆x－3222＋y－622＝1上一点到原点距离的取值范围.原点到圆心322，62的距离为6，又圆的半径为1，所以|OC→|的取值范围为[6－1，6＋1].角度2平面向量与解三角形例4已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA→·(AB→－AC→)＝18，求c.解(1)m·n＝sinA·cosB＋sinB·