第7章 不等式、推理与证明 第1节　不等式的性质与一元二次不等式

第1节不等式的性质与一元二次不等式考试要求1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1.实数大小比较的依据(1)ab⇔a－b0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)ab⇔a－b0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；ab，c0⇒acbc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}4.分式不等式与整式不等式(1)f（x）g（x）＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0).(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.1.有关分式的性质(1)若ab0，m0，则bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0).(2)若ab0，且ab⇔1a1b.2.绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.3.对于不等式ax2＋bx＋c0，求解时不要忘记a＝0时的情形.4.当Δ0时，不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a0)的解集为R.()(4)x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ac2＞bc2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集为.(4)x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x－b≠0.2.已知集合A＝{x|x2－5x＋40}，B＝{x|x2－x－60}，则A∩B＝()A.(－2，3)B.(1，3)C.(3，4)D.(－2，4)答案B解析由题意知A＝{x|1x4}，B＝{x|－2x3}，所以A∩B＝(1，3).3.(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bcB.ad＜bcC.ac＞bdD.ac＜bd答案B解析因为c＜d＜0，所以0＞1c＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－ad＞－bc＞0.两边同乘－1，得ad＜bc.4.(2021·烟台月考)不等式1－x2＋x≥0的解集为()A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)答案B解析原不等式化为（1－x）（2＋x）≥0，2＋x≠0，即（x－1）（x＋2）≤0，x＋2≠0，解得－2＜x≤1.5.(2022·北京海淀区调研)设一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则ab的值为()A.1B.－14C.4D.－12答案B解析因为一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以方程ax2＋bx＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－ba，(－1)×2＝1a，所以a＝－12，b＝12，所以ab＝－14.6.(易错题)若关于x的不等式kx2－kx1的解集是全体实数，则实数k的取值范围是________.答案(－4，0]解析当k＝0时，01恒成立，当k≠0时，要使kx2－kx－10的解集是全体实数，只需满足k0，k2＋4k0，解得－4k0.综上可知，－4k≤0.考点一不等式的性质及应用1.设a＞b＞0，c≠0，则下列不等式恒成立的是()A.1a＞1bB.ac2＞bc2C.ac＞bcD.ca＜cb答案B解析由不等式的性质易得，当a＞b＞0，c≠0时，恒成立的是ac2＞bc2.2.若a0，b0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A.pqB.p≤qC.pqD.p≥q答案B解析(作差法)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝（b2－a2）（b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q0，故pq.综上，p≤q.故选B.3.已知3＜a＜8，4＜b＜9，则ab的取值范围是________.答案13，2解析∵4＜b＜9，∴19＜1b＜14，又3＜a＜8，∴19×3＜ab＜14×8，即13＜ab＜2.4.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.答案[5，10]解析法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二由f（－1）＝a－b，f（1）＝a＋b得a＝12[f（－1）＋f（1）]，b＝12[f（1）－f（－1）]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(－2)＝4a－2b过点A32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.感悟提升1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.3.利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.考点二一元二次不等式的解法例1(1)不等式0x2－x－2≤4的解集为________.(2)不等式x＋1x≤3的解集是()A.x|x≥12或x0B.x|0x≤12C.x|x12或x≤0D.x|0≤x12答案(1){x|－2≤x－1，或2x≤3}(2)A解析(1)原不等式等价于x2－x－20，x2－x－2≤4，即x2－x－20，x2－x－6≤0，解得x2或x－1，－2≤x≤3.故原不等式的解集为{x|－2≤x－1，或2x≤3}.(2)原不等式化为x＋1x－3≤0，即1－2xx≤0，则（1－2x）·x≤0，x≠0，解得x≥12或x0，即不等式的解集为x|x≥12或x0.例2解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R).解①当k＝0时，不等式的解为x＞0.②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解.③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，不等式的解为x＜1＋1－k2k或x＞1－1－k2k；若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1，综上所述，k≥1时，不等式的解集为；0＜k＜1时，不等式的解集为x|1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k；k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当－1＜k＜0时，不等式的解集为x|x＜1＋1－k2k，或x＞1－1－k2k；k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；k＜－1时，不等式的解集为R.感悟提升对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.训练1(2022·西安调研)关于x的不等式ax－b0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)答案C解析关于x的不等式ax－b0即axb的解集是(1，＋∞)，∴a＝b0，∴不等式(ax＋b)(x－3)0可化为(x＋1)(x－3)0，解得－1x3，∴所求不等式的解集是(－1，3).考点三一元二次不等式恒成立问题角度1在实数集R上恒成立例3对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2，2)D.(－2，2]答案D解析当a－2＝0，即a＝2时，－40恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，则有a－20，Δ＝[－2（a－2）]2－4×（a－2）×（－4）0，解得－2a2.综上，实数a的取值范围是(－2，2].角度2在给定区间上恒成立例4设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.答案m0＜m＜67或m＜0解析要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，则mx－122＋34m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3].当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜67，则0＜m＜67.当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是m0＜m＜67或m＜0.法二因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可.因为m≠0，所以m的取值范围是m0＜m＜67或m＜0.角度3给定参数范围的恒成立问题例5对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围.解由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，所以g（－1）＝（x－2）×（－1）＋x2－4x＋40，g（1）＝（x－2）＋x2－4x＋40，解得x1或