第7章 不等式、推理与证明 第3节　基本不等式及其应用

第3节基本不等式及其应用考试要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).1.ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤a＋b22≤a2＋b22.3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为－5.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)x0且y0是xy＋yx≥2的充分不必要条件.2.(易错题)已知x＞2，则x＋1x－2的最小值是()A.1B.2C.22D.4答案D解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立.3.若x0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2答案D解析因为x0，所以－x0，x＋1x＝－－x＋－1x≤－2（－x）·－1x＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.4.若x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81答案A解析因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.答案15152解析设矩形的长为xm，宽为ym.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案14解析由题设知a－3b＝－6，又2a0，8b0，所以2a＋18b≥22a·18b＝2×2a－3b2＝14，当且仅当2a＝18b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋18b的最小值为14.考点一利用基本不等式求最值角度1配凑法求最值例1(1)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为________.(2)已知x＞54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最小值为________.(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x＜12，则y＝x1－4x2的最大值为________.答案(1)98(2)5(3)14解析(1)x(3－2x)＝12·2x(3－2x)≤12·2x＋3－2x22＝98，当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时取等号.(2)∵x＞54，∴4x－5＞0，∴f(x)＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3≥21＋3＝5.当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时取等号.(3)∵0＜x＜12，∴y＝x1－4x2＝x2（1－4x2）＝124x2（1－4x2）≤12·4x2＋1－4x22＝14，当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝24时取等号，则y＝x1－4x2的最大值为14.角度2常数代换法求最值例2(2022·江西九校联考)若正实数a，b满足a＋b＝1，则b3a＋3b的最小值为________.答案5解析因为a＋b＝1，所以b3a＋3b＝b3a＋3（a＋b）b＝b3a＋3ab＋3，因为a＞0，b＞0，所以b3a＋3ab＋3≥2b3a·3ab＋3＝5，当且仅当b3a＝3ab，即a＝14，b＝34时等号成立，即b3a＋3b的最小值为5.角度3消元法求最值例3已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.答案6解析法一(换元消元法)由已知得x＋3y＝9－xy，因为x0，y0，所以x＋3y≥23xy，所以3xy≤x＋3y22，所以13×x＋3y22≥9－(x＋3y)，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，则x＋3y≤－18(舍去)或x＋3y≥6(当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6.法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥23（1＋y）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.感悟提升利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.训练1(1)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x＜－1)，则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值－4(2)正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为________.答案(1)A(2)6解析(1)f(x)＝－x2x＋1＝－x2－1＋1x＋1＝－x－1＋1x＋1＝－x＋1＋1x＋1－2＝－(x＋1)＋1－（x＋1）＋2.因为x＜－1，所以x＋1＜0，－(x＋1)＞0，所以f(x)≥21＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝1－（x＋1），即x＝－2时，等号成立.故f(x)有最小值4.(2)∵a＞0，b＞0，∴ab≤a＋b22，即a＋b＋3≤a＋b22，整理得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≤－2(舍)或a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).故a＋b的最小值为6.考点二基本不等式的综合应用例4(1)(2022·河南名校联考)已知直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则ab的最大值是()A.14B.12C.22D.1(2)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8答案(1)A(2)B解析(1)圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径r＝1，由直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，得|－1|a2＋4b2＝1，则a2＋4b2＝1，又由1＝a2＋4b2≥4ab，可得ab≤14，当且仅当a＝2b，即a＝22，b＝24时等号成立，故ab的最大值是14.(2)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于9，∵(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1＝(a＋1)2，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴(a＋1)2≥9，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.感悟提升1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2(1)若△ABC的内角满足3sinA＝sinB＋sinC，则cosA的最小值是()A.23B.79C.13D.59(2)当x∈(0，＋∞)时，ax2－3x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.答案(1)B(2)32，＋∞解析(1)由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－b＋c322bc＝89b2＋89c2－29bc2bc＝89b2＋89c22bc－19≥2×89b×89c2bc－19＝79.当且仅当b＝c时等号成立.综上可得，cosA的最小值是79.(2)ax2－3x＋a≥0，则a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，故y＝3x＋1x≤32，故a≥32.考点三基本不等式的实际应用例5为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24答案D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝x2＋y2－622xy＝（x＋y）2－362xy－1＝32xy－1≥32x＋y22－1＝3225－1＝725，当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时(cosA)min＝725，所以(sinA)max＝1－7252＝2425，所以四边形AMBN的最大面积为2×12×5×5×2425＝24，此时四边形AMBN是边长为5的菱形.感悟提升1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.答案20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用为之和为400x·4＋4x万元，400x·4＋4x≥160，当且仅当1600x＝4x，即x＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小.1.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A.a＋b≥2abB.ab＋ba≥2C.ab＋ba≥2D.a2＋b22ab答案C解析因为ab和ba同号，所以ab＋ba＝ab＋ba≥2.2.若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为()A.4B.42C.2D.22答案A解析因为3x＋2y＝2，所以8x＋4y≥28x·4y＝223x＋2y＝4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝13，y＝12时等号成立.3.若a＞0，b＞0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为()A.8B.6C.4D.2答案C解析依题意ab＝a＋b，∴a＋b＝ab≤a＋b22，即a＋b≤（a＋b）24，∴a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴a＋b的最小值为4.4.已知f(x)＝x2－2x＋1x，则f(x)在1