第8章 立体几何 第4节　直线、平面平行的判定与性质

第4节直线、平面平行的判定与性质考试要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2.三种平行关系的转化1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.2.下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是()A.直线a上有无数个点不在平面α内B.直线a与平面α内的所有直线平行C.直线a与平面α内无数条直线不相交D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.3.(2022·昆明诊断)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析根据m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；反之，α∥β，m⊂α，所以m和β没有公共点，所以m∥β，即由α∥β能得到m∥β.所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.4.(2021·太原质检)平面α∥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案D解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C；故选D.5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是________(填序号).①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.答案①②④解析如图，因为AB綉C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形.故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确.6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.考点一直线与平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定例1如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.证明法一如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴PMAB＝PEAE＝QBBD＝QNDC，∴PMAB＝QNDC.又AB綉DC，∴PM綉QN，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.法二如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM.则PM∥平面BCE，∵PM∥BE，∴APPE＝AMMB，又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴APPE＝DQBQ，∴AMMB＝DQQB，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.角度2直线与平面平行的性质例2(2022·许昌质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝12AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的点.(1)若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点；(2)求点C到平面PBD的距离.(1)证明因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM，因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，所以EF∥PM，从而得EF∥BC.因为E为PB的中点，所以F为PC的中点.(2)解因为PA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝12AD＝2，所以PB＝PA2＋AB2＝22，PD＝PA2＋AD2＝25，BD＝BA2＋AD2＝25，所以S△DPB＝12PB·DP2－12PB2＝6.设点C到平面PBD的距离为d，由VC－PBD＝VP－BCD，得13S△DPB·d＝13S△BCD·PA＝13×12×BC×AB×PA，则6d＝12×2×2×2，解得d＝23.感悟提升1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.训练1如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.(1)证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考点二平面与平面平行的判定与性质例3如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.感悟提升1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.训练2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点.(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，ABB1A1为平行四边形，∴A1F＝BG，且A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点.考点三平行关系的综合应用例4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且CQQD1＝BPPD＝23.(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的点，ARAB的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.(1)证明连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM＝BPPD＝23，又因为CQQD1＝BPPD＝23，所以CQQD1＝CPPM＝23，所以PQ∥MD1.又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)解当ARAB的值为35时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，证明：因为ARAB＝35，即BRRA＝23，故BRRA＝BPPD.所以PR∥DA.又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR，所以平面PRQ∥平面A1D1DA.感悟提升三种平行关系的转化训练3如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O