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第6节双曲线考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)若ac，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b21.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.2.离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.4.若渐近线方程为y＝±bax，则双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为b2tanθ2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是xm±yn＝0.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.2.(易错题)双曲线x29－y216＝1上一点P到焦点F1(－5，0)的距离为7，则点P到焦点F2(5，0)的距离为________.答案13解析在双曲线x29－y216＝1中，a＝3，由题意得|PF1|＝7，由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.3.(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________.答案y＝±3x解析因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，所以e＝c2a2＝a2＋b2a2＝2，所以b2a2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.4.(2021·全国乙卷)已知双曲线C：x2m－y2＝1(m0)的一条渐近线为3x＋my＝0，则C的焦距为________.答案4解析双曲线x2m－y2＝1(m0)的渐近线为y＝±1mx，即x±my＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋my＝0，即x＋m3y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2a2＋b2＝4.5.(易错题)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为________.答案2或233解析当双曲线的焦点在x轴上时，ba＝tanπ3＝3，即b＝3a，c2＝a2＋3a2＝4a2，c＝2a，此时e＝ca＝2；当双曲线的焦点在y轴上时，ab＝tanπ3＝3，即b＝33a，c2＝a2＋13a2＝43a2，c＝233a，此时e＝ca＝233.∴双曲线C的离心率2或233.6.(2020·全国Ⅰ卷改编)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为________.答案3解析法一由题知a＝1，b＝3，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|＝3.法二由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝21＋3＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则x20－y203＝1，x20＋y20＝2，解得|y0|＝32.所以△PF1F2的面积为12|F1F2|·|y0|＝12×4×32＝3.考点一双曲线的标准方程1.(2021·贵阳调研)已知双曲线的渐近线为y＝±22x，实轴长为4，则该双曲线的方程为()A.x24－y22＝1B.x24－y28＝1或y24－x28＝1C.x24－y28＝1D.x24－y22＝1或y24－x28＝1答案D解析设双曲线方程为x22m－y2m＝1(m≠0)，又2a＝4，∴a2＝4，当m0，2m＝4，m＝2；当m0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线方程为x24－y22＝1或y24－x28＝1.2.(2022·衡水联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点F(c，0)到渐近线的距离为32c，且点(2，3)在双曲线上，则双曲线的方程为()A.x29－y23＝1B.x212－y23＝1C.x23－y212＝1D.x23－y29＝1答案D解析双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点F(c，0)到渐近线bx±ay＝0的距离为bca2＋b2＝32c，解得b＝32c，所以b2＝34c2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2，因为点(2，3)在双曲线上，所以4a2－3b2＝1，联立解得a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为x23－y29＝1.故选D.3.经过点P(3，27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为________.答案y225－x275＝1解析设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，因为所求双曲线经过点P(3，27)，Q(－62，7)，所以9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125.故所求双曲线标准方程为y225－x275＝1.4.已知双曲线E与双曲线x24－y29＝1共渐近线且经过点P(2，35)，则双曲线E的标准方程为____________，顶点坐标为________.答案y236－x216＝1(0，6)，(0，－6)解析根据题意，设所求双曲线的方程为x24－y29＝λ(λ≠0)，又由双曲线经过点P(2，35)，得44－459＝λ，即λ＝－4，所以双曲线的方程为x24－y29＝－4，其标准方程为y236－x216＝1，顶点坐标为(0，6)，(0，－6).感悟提升1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn0)，再根据条件求解.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).考点二双曲线的定义及应用例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x2－y28＝1B.x28－y2＝1C.x2－y28＝1(x≤－1)D.x2－y28＝1(x≥1)(2)(2022·豫南九校联考)若双曲线mx2－4y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，若△AF2B的周长是18，|AB|＝5，则实数m＝()A.1B.2C.3D.4(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.(4)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.答案(1)C(2)A(3)23(4)9解析(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1).故选C.(2)由题意知双曲线的标准方程是x24m－y2＝1，由双曲线的定义，得|AF2|－|AF1|＝2·2m＝4m，|BF2|－|BF1|＝2·2m＝4m，所以|AF2|＋|BF2|＝8m＋|AF1|＋|BF1|＝8m＋|AB|＝8m＋5.所以△AF2B的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝8m＋5＋5＝18，解得m＝1，故选A.(3)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.(4)因为F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，所以F(－4，0)，设其右焦点为H(4，0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9(当A，P，H三点共线时取等号).感悟提升1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.训练1(2022·银川调研)过双曲线x2－y24＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝10，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________.答案24解析由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝10，∴|PF2|＋|QF2|－10＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝14.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝14＋10＝24.考点三双曲线的几何性质角度1求双曲线的渐近线例2(2022·兰州诊断)已知P为双曲线x2a2－y29＝1(a0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|＝7，|PF2|＝3，则双曲线的一条