第9章 平面解析几何 第7节　抛物线

第7节抛物线考试要求1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a0)的通径长为2a.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(3)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.2.(易错题)(2022·长春检测)已知抛物线方程为y＝x24，则抛物线的准线方程为()A.x＝1B.x＝－1C.y＝1D.y＝－1答案D解析化抛物线的方程为标准方程，得x2＝4y，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝－p2＝－1，故选D.3.(易错题)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案C解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).4.(2021·兰州调研)已知点(1，1)在抛物线C：y2＝2px(p0)上，则C的焦点到其准线的距离为()A.14B.12C.1D.2答案B解析因为点(1，1)在抛物线C上，所以1＝2p，解得p＝12，故C的焦点到其准线的距离为12，故选B.5.(2022·太原质检)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是_________________________.答案y2＝－92x或x2＝43y解析设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y.6.(2020·新高考山东卷)斜率为3的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.答案163解析由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，设直线AB的方程为y＝3(x－1).由y＝3（x－1），y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝103，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝163.考点一抛物线的定义及标准方程1.(2022·豫北六校联考)已知圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心的轨迹为()A.双曲线B.椭圆C.直线D.抛物线答案D解析由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是抛物线，故选D.2.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A.2B.3C.6D.9答案C解析设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋p2＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋p2＝12，解得p＝6.故选C.3.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x答案A解析对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，则p2＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则p2＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.4.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率为－3，则△PAF的面积为________.答案43解析设准线与x轴交于点Q，因为直线AF的斜率为－3，|FQ|＝2，所以∠AFQ＝60°，|FA|＝4，又因为|PA|＝|PF|，∠PAF＝60°，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为34×|FA|2＝34×42＝43.感悟提升1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线的焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.考点二抛物线的几何性质及其应用角度1焦半径和焦点弦例1(1)(2022·南昌模拟)已知△ABC的三个顶点都在抛物线x2＝8y上，且F为抛物线的焦点，若AF→＝13(AB→＋AC→)，则|AF→|＋|BF→|＋|CF→|＝()A.6B.8C.10D.12(2)(2021·全国百校大联考)已知F是抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为－2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M，N两点，若|MN|＝52，则p＝________.答案(1)D(2)1解析(1)由x2＝8y，得焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由AF→＝13(AB→＋AC→)得(－x1，2－y1)＝13(x2－x1，y2－y1)＋13(x3－x1，y3－y1)，则2－y1＝13(y2－y1＋y3－y1)，化简得y1＋y2＋y3＝6，所以|AF→|＋|BF→|＋|CF→|＝y1＋2＋y2＋2＋y3＋2＝12.(2)根据题设知直线l：y＝－2x＋p，由y＝－2x＋p，y2＝2px，得4x2－6px＋p2＝0.设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则xM＋xN＝6p4＝3p2，又|MN|＝52，所以xM＋p2＋xN＋p2＝5p2＝52，所以p＝1.感悟提升1.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.2.解决焦点弦问题时，要注意焦点位置，利用抛物线定义把到焦点距离转化为到准线的距离.角度2与抛物线有关的最值问题例2(1)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.34B.32C.1D.2(2)(2022·江西七校联考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一动点，点A(1，1)，当△PAF的周长最小时，PF所在直线的斜率为________.(3)(2021·榆林一模)抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________.答案(1)D(2)－43(3)12，1解析(1)由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝|AA1|＋|BB1|2.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.(2)由题意可知抛物线的焦点F(1，0)，准线为x＝－1，因为A(1，1)，所以|AF|＝1，△PAF的周长l＝|PA|＋|PF|＋|AF|.过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为M，根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|，则当A，P，M三点共线时，|PA|＋|PM|最小，此时P点的纵坐标为1，代入抛物线的方程可得P点的横坐标为14，所以直线PF的斜率为1－014－1＝－43.(3)法一设与y＝4x－5平行的直线y＝4x＋b与y＝4x2相切，将y＝4x＋b代入y＝4x2，得4x2－4x－b＝0.①由Δ＝16＋16b＝0得b＝－1，代入①得x＝12，∴所求点为12，1.法二设该点坐标为A(x0，y0)，那么有y0＝4x20.设点A到直线y＝4x－5的距离为d，则d＝|4x0－y0－5|42＋1＝117|－4x20＋4x0－5|＝117|4x20－4x0＋5|＝1174x0－122＋4.当且仅当x0＝12时，d有最小值，将x0＝12代入y＝4x2解得y0＝1.故A点坐标为12，1.感悟提升与抛物线有关的最值问题的转化策略策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.策略三：抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.训练1(1)(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.14，0B.12，0C.(1，0)D.(2，0)(2)(2022·昆明检测)已知抛物线y2＝2px(p0)上一点A(2，y0)，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点M，满足2FA→＝AM→，则p＝________.(3)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.答案(1)B(2)12(3)2解析(1)将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2p，不妨设D(2，2p)，E(2，－2p)，由OD⊥OE，可得OD→·OE→＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为12，0.故选B.(2)由题意知，抛物线的准线方程为x＝－p2，过点A作准线的垂线，垂足为B，由抛物线的定义，得|AB|＝|AF|＝xA＋p2＝2＋p2，设准线与x轴的交点为C，因为2FA→＝AM→，所以|AB||FC|＝23，即2＋p2p＝23，解得p＝12.(3)由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.考点三直线与抛物线的综合问题例3已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；(2