易错点11 球答案-备战2023年高考数学易错题

易错点11球球是最常见的一种几何体,在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。在此类问题中,既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。考查形式多以选择题和填空题出现。易错点1：公式记忆错误易错点2：多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点3：简单的组合体画不出适当的截面图致误题组一：以三视图为背景1．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28【答案】A【解析】由三视图知：该几何体是78个球，设球的半径为R，则37428VR833，解得R2，所以它的表面积是22734221784，故选A．2．(2015高考数学新课标1理科)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为1620，则r=A．1B．2C．4D．8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为22142222rrrrrr=2254=16+20rr，解得r=2，故选B．题组二，以棱（圆）柱为载体3.(2010)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.【答案】273a【解析】根据题意可知三棱柱是棱长都是a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外切球的半径为OA1,又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，110sin603ADaEA122211t,2712aROEAOEROAOEEAa在中，由勾股定理得22774123aSa球的表面积为4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．B．C．D．【答案】B【解析】法一：如图，画出圆柱的轴截面，所以，那么圆柱的体积是，故选B．法二：设圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高，而该圆柱的外接球的半径为根据球与圆柱的对称性，可得即，故该圆柱的123π4π2π411,2ACAB32rBC2233124Vrhr1h1R2222hrR22213124rr体积为，故选B．题组三：以棱（圆）锥为载体5．(2021年高考全国甲卷理科)已如A．B．C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1ACBCACBC，则三棱锥OABC的体积为()A．212B．312C．24D．34【答案】A解析：,1ACBCACBC，ABC为等腰直角三角形，2AB，则ABC外接圆的半径为22，又球的半径为1，设O到平面ABC的距离为d，则2222122d，所以1112211332212OABCABCVSd．故选：A．6.（2021天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为A.3B.4C.9D.12【答案】B【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD，设球的半径为R，则343233R，可得2R，所以，44ABADBDBD，所以，1BD，3AD，CDAB，则90CADACDBCDACD，所以，CADBCD，又因为ADCBDC，所以，ACDCBD△∽△，233144VShrh圆柱底面积所以，ADCDCDBD，3CDADBD，因此，这两个圆锥的体积之和为21134433CDADBD.故选：B.7.（2020年全国1卷）已知,,ABC为球O的球面上的三个点，⊙1O为ABC的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBCACOO，则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A【解析】设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24,2rr，ABC为等边三角形，由正弦定理可得2sin6023ABr，123OOAB，根据球的截面性质1OO平面ABC，222211111,4OOOAROAOOOAOOr，球O的表面积2464SR.故选：A【叮嘱】球的有关性质性质1.球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.性质2.球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.性质3:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为:R2=d2+r2.性质4.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.性质5.球的直径等于球的内接长方体的对角线长.性质6.若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心O是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC是面积为934等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A．3B．32C．1D．32的【答案】C【解析】设球O的半径为R，则2416R，解得：2R．设ABC外接圆半径为r，边长为a，ABC是面积为934的等边三角形，21393224a，解得：3a，22229933434ara，球心O到平面ABC的距离22431dRr．故选：C．9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BCABAC，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于223122AM，故1222222S△ABC，设内切圆半径为r，则：ABCAOBBOCAOCSSSS△△△△111222ABrBCrACr1332222r，解得：22r=，其体积：34233Vr．故答案为：23．题组四：与最值相关10．(2015高考数学新课标2理科)已知,AB是球O的球面上两点，90AOB,C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36B．64C．144D．256【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时2311136326OABCCAOBVVRRR，故6R，则球O的表面积为24144SR，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设,,,ABCD是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543【答案】B【解析】设ABC△的边长为a，则21sin609362ABCSaa△，此时ABC△外接圆的半径为116232sin60232ar，故球心O到面ABC的距离为2216122Rr，故点D到面ABC的最大距离为26R，此时BOAC1193618333DABCABCDABCVSd△，故选B．12．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球,若ABBC,6AB,8BC,13AA,则V的最大值是()A．4B．92C．6D．323【答案】B【解析】要使球的体积V最大,必须球的半径R最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值32,此时球的体积为334439()3322R,故选B.1．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为4:，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（）A．483B．283C．83D．163【答案】C【解析】正方体的体积为328，其内切球的体积为43，由条件可知牟合方盖的体积为441633，故正方体除去牟合方盖后剩余的部分体积为168833.故选：C2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．200πB．100πC．1252D．50【答案】D【解析】由三视图可得该几何体为如图的长方体中的四面体A1BC1D,四面体A1BC1D与长方体的外接球是同一个球，长方体的外接球的直径即为长方体的对角线，222234550Rd，所以外接球的表面积为224ππ50πRd，故选：D.3．已知ABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，3BC，22PB，5PC，则三棱锥PABC外接球的体积为（）A．10B．103C．53πD．5103【答案】D【解析】取BC中点M，过点M做直线l垂直BC，因为ABC为直角三角形，所以点M为ABC外接圆的圆心，又平面PBC平面ABC，所以l平面ABC，根据球的性质，球心一定在垂线l上，且球心为PBC的外心.在PBC中，2222cos22PBBCPCPBCPBBC，所以2sin2PBC，则PBC外接圆的半径为15102222即外接球的半径为102，所以体积为5103V.故选：D4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．8B．12C．16D．32【答案】A【解析】由三视图可还原几何体为从长、宽均为2，高为2的长方体中截得的四棱锥SABCD，则四棱锥SABCD的外接球即为长方体的外接球，球O的半径122422R，球O的表面积248SR.故选：A.5．已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的2BDC，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，1，3，所以21135R，球面积254()52S，故选:D.6．在四边型ABCD中（如图1所示），ABAD，45ABD，2BCBDCD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD（如图2所示），使得90ABC，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A．9B．8C．7D．6【答案】D【解析】ABAD，45ABD，,90ABADBAD，又2BCBDCD，则224ABAD，2ABAD，可知ABCADC，则90ABCADC，取AC的中点O，连接,BODO，则12BODOAC，所以点O为四面体ABCD外接球的球心，则外接球的半径为：22221116222222RACABBC，所以四面体ABCD外接球的表面积2264462SR