易错点13 多面体的表面积和体积答案-备战2023年高考数学易错题

易错点13多面体的表面积和体积多面体，因其具有考查直观想象、逻辑推理、数学抽象的素养的特性，越来越引起出题专家组的青睐。易错点1：基础知识不扎实（1）对立几中一些常见结论要做到了然于胸，如：关于三棱锥中顶点在底面三角形上的射影问题的相关条件和结论要在理解的基础上加以熟记；（2）在思维受阻时，要养成回头看条件的习惯，问一问自己条件是否都用了呢？易错点2：平面化处理意识不强，简单的组合体画不出适当的截面图致误易错点3：“想图、画图、识图、解图”能力的欠缺，多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点4：空间想象能力欠缺题组一：侧面积与表面积1．（2020年全国三卷）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．B．C．D．【答案】C【解析】由题2可知：该几何体是棱长为的正方体割掉一部分剩下的一个角，如图所示，其面积为：，故选：C．2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30则该圆锥的侧面积为________.【答案】39【分析】∵216303Vh∴52h∴2222513622lhr∴136392Srl侧.故答案为：39.3．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．18365B．54185C．90D．81【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为35和3，故面积都为95，则该几何体的表面积为2(9+18+95)=54+185．题组二：体积4．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A．90B．63C．42D．36【答案】B【解析】解法一由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V，故该组合体的体积12362763VVV．故选B．解法二该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为21(3)14632．选B．5．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A．81B．71C．61D．51【答案】D【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥111AABD-，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15．6.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABCD挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________(g).【答案】118.8【解析】该模型为长方体1111ABCDABCD，挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，6cmABBC，14cmAA，所以该模型体积为：1111311664(46432)314412132(cm)32ABCDABCDOEFGHVV，3D打印所用原料密度因为为30.9g/cm，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)．7.（2019年新课标2卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．D1A1B1C1ABDC1)【答案】26,√2−1【解析】由图知，该半正多面体的面数为26，设所求棱长为a，则由题知21,21aaa所以，第一空填26，第二空填√2−1题组三：圆柱和圆锥中的问题8．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20πB．24πC．28πD．32π【答案】C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．由图得2r，2π4πcr，由勾股定理得：222234l，21π2Srchcl表4π16π8π28π，故选C．9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．22C．4D．42【答案】B【分析】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则22l，解得22l.故选：B.10．（2021上海卷）在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面圆的直径为AB,C是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则ABC的面积的范围________．【答案】[2,5]【解析】当点C为,AB的投影时，面积最小122SABh；当点C为弧AB中点的投影时，面积最大152SABh，因此面积的取值范围为[2,5]11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．122πB．12πC．82πD．10π【答案】B【详解】：根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为22(2)222212S，故选B.题组四：大题12．【2021年新课标1卷】如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点．（1）证明：OACD；（2）若OCD△是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积．【答案】（1）见解析；（2）36．【解析】（1）因为在ABD△中，ABAD，O为BD中点，所以AOBD，因为平面ABD平面BCD，且平面ABD平面=BCDBD，AO平面ABD，AOBD，所以AO平面BCD，又因为CD面BCD，所以AOCD．（2）方法一：由题意可得1CD,2BD，60BDC在BCD△中，由余弦定理得3BC，所以222+=CDBCBD，所以BCD△为直角三角形，且90C以C为坐标原点，CD为X轴，CB为Y轴，过C作Z轴垂直于面BCD，建系如图：设E点纵坐标为m，因为2DEEA，由相似可得23(,,)33Em，易得(0,0,0)C(0,3,0)B，所以(0,3,0)BC，23(,,)33CEm，设面BCE法向量1(,,)nabc，由10nBC，10nCE，得13(,0,1)2nm；易得面BCD法向量2(0,0,1)n，所以122121cos45=914nnnnm，所以23m，由相似易得1AO，所以11131313326ABCDVSh．方法二：几何法如图，取OD的三等分点F，使得2OFDF，取BC的三等分点G，使得2CGBG，连接EF、FG、EG，因为2AEDE，所以AODEFD，所以AOEF∥，由（1）知：AO平面BCD，所以EF平面BCD，所以EFBC，EFFG，ECAOBDFG又有1OD，所以1OB，13OF，23DF，43BF，所以2DFBF，所以BCDBGF，所以GFCD∥，并且2233GFCD，因为OBODOC，所以BCCD，所以GFBC，EFBC，GFBC，EF平面EFG，GF平面EFG，EFGFF，所以BC平面EFG，则BCEG，所以EGF即为二面角EBCD的平面角，所以45EGF，又因为EFFG，所以EFG为等腰直角三角形，所以23EFFG,由相似易得1AO，11131313326ABCDVSh．13．（2021全国甲卷文）已知直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧面𝐴𝐴1𝐵1𝐵为正方形．𝐴𝐵＝𝐵𝐶＝2，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐶和𝐶𝐶1的中点，𝐵𝐹⊥𝐴1𝐵1．(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知𝐷为棱𝐴1𝐵1上的点，证明：𝐵𝐹⊥𝐷𝐸．【答案】(1)13；(2)见解析.【解析】(1)因为三棱柱111ABCABC的直三棱柱，所以111BBAB，又11ABBF，1BFBBB，1,BFBB平面11BBCC，所以11AB平面11BBCC，所以1111ABBC，所以△111ABC为直角三角形，则△ABC为直角三角形，因为E为AC中点，所以112EBCABCSS，1FC，所以11111333FEBCEBCVFCS(2)取BC中点M，连接EM，1MB，1EA，因为,EF分别为1ACCC，的中点，所以//EMAB，因为11//ABAB，所以11//EMAB，所以11,,,EMBA四点共面，因为侧面11AABB为正方形，所以1BBAB，又ABBC，所以1BBBC，所以侧面11BBCC为正方形，又F为1CC中点，M为BC中点，由平面几何知识可知1BFBM，又11ABBF，1111BMABB，所以BF平面11EMBA，而DE平面11EMBA，所以BFDE.14.【2021年乙卷】如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM．（1）证明：平面PAM平面PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）23．【解析】【分析】（1）由PD底面ABCD可得PDAM，又PBAM，由线面垂直的判定定理可得AM平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM平面PBD；（2）由（1）可知，AMBD，由平面知识可知，~DABABM，由相似比可求出AD，再根据四棱锥PABCD体积公式即可求出．【详解】（1）因为PD底面ABCD，AM平面ABCD，所以PDAM，又PBAM，PBPDP，所以AM平面PBD，而AM平面PAM，所以平面PAM平面PBD．（2）由（1）可知，AM平面PBD，所以AMBD，从而~DABABM，设BMx，2ADx，则BMABABAD，即221x，解得22x，所以2AD．因为PD底面ABCD，的故四棱锥PABCD的体积为1212133V．1．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20，则r=A．1B．2C．4D．8【答案】B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为22222422016rrrr，所以2r．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为=，故选A．3．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为168