易错点14 立体几何中的角-备战2023年高考数学易错题

易错点14立体几何中的角易错点1：异面直线所成的角1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。2.求异面直线所成角的步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。的范围是090°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。易错点2：直线与平面所成的角1.传统几何方法：①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）21coscoscos求1。2.向量方法：设n为平面的法向量，直线a与平面所成的角为，则,2,,2,2,0,,,2nananana易错点3：二面角用向量求二面角大小的基本步骤1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；2.求出平面的法向量1n，平面的法向量2n3.进行向量运算求出法向量的夹角121212cos,nnnnnn；4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：2121,coscos,coscosnnnn，为钝角时当二面角为锐角时题组一：异面直线所成的角1．（2021年全国高考乙卷数学（文理）试题）在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π62.(2018全国卷Ⅱ)在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A．15B．56C．55D．223．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱111ABCABC中，120ABC，2AB，11BCCC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为()A．32B．155C．105D．334.（2015浙江）如图，三棱锥ABCD中，3ABACBDCD，2ADBC，点,MN分别是,ADBC的中点，则异面直线,ANCM所成的角的余弦值是．题组二：直线与平面所成的角5.【2021年浙江卷】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，120,1,4,15ABCABBCPA，M，N分别为,BCPC的中点，,PDDCPMMD.（1）证明：ABPM；（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.6.（2020•北京卷）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为1BB的中点．（Ⅱ）求直线1AA与平面1ADE所成角的正弦值．7.（2020年全国2卷）如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.8.（2020年新全国1山东）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．题组三：二面角9.【2021年乙卷】如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，1PDDC，M为BC的中点，且PBAM．（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值．10.【2021年甲卷】已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?11.（2020•全国1卷）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO．（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值．12.（2020•全国3卷）如图，在长方体1111ABCDABCD中，点,EF分别在棱11,DDBB上，且12DEED，12BFFB．（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB，1AD，13AA，求二面角1AEFA的正弦值．1．如图在直三棱柱111ABCABC中，ABC为等腰直角三角形，且1112ABACAA，则异面直线1AB与1AC所成角的余弦值为（）A．35B．45C．55D．552．如图，圆锥的底面直径2AB，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦1AC，则异面直线AC与SB所成角的余弦值为（）A．34B．22C．14D．03．在长方体1111ABCDABCD中，1AD和1CD与底面所成的角分别为30°和45°，异面直线1AD和1CD所成角的余弦值为（）A．34B．24C．63D．1044．（多选题）已知正方体1111ABCDABCD，P是棱1CC的中点，以下说法正确的是（）A．过点P有且只有一条直线与直线AB，11AD都相交B．过点P有且只有一条直线与直线AB，11AD都平行C．过点P有且只有一条直线与直线AB，11AD都垂直D．过点P有且只有一条直线与直线AB，11AD所成角均为45°5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”PABCD中，侧棱PD底面ABCD，PDDA，点E是PA的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PB平面EFD；(2)若平面DEF与平面ABCD所成的二面角为60，求ADDC.6．在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E是DC中点，连接AE，将△ADE沿AE折起，使得点D移动至点P，满足平面PAE⊥平面ABCE.(1)求证：AE⊥BP；(2)求二面角E-CP-B的余弦值.7．如图所示，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABAD，ABCD，222ABADCD，E是PB的中点．(1)求证：CE平面PAD；(2)若2PC，求二面角PACE的余弦值．8．已知三棱锥PABC（如图一）及其展开图（如图二），四边形ABCD为边长等于2的正方形，ABE△和BCF△均为正三角形.(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求点M到平面PBC的距离.9．如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PD平面ABCD，ADBD，M是PA的中点．(1)证明：PC∥平面BDM；(2)若PDADBD，求直线AB与平面BDM所成角的大小．10．如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ABC，2CA，1CB，M是1CC的中点，1AMBA.(1)求1AA的长；(2)求直线1AC与平面11ABBA所成角的正弦值.