易错点15 直线和圆答案-备战2023年高考数学易错题

易错点15直线和圆易错点1：直线的方程若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。易错点2：圆的方程(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；(2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.易错点3：直线与圆相离直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.易错点4：直线与圆相切直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.易错点5：直线与圆相交直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.题组一：直线的方程1.【2016·上海文科】已知平行直线12:210,:210lxylxy，则12,ll的距离_______________．【答案】255【解析】利用两平行线间距离公式得122222|cc||11|25d5ab212.【2014四川】设mR，过定点A的动直线0xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)Pxy，则||||PAPB的取值范围是A．[5,25]B．[10,25]C．[10,45]D．[25,45]【答案】B【解析】易知直线0xmy过定点(0,0)A，直线30mxym过定点(1,3)B，且两条直线相互垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动，故||||||cos||sinPAPBABPABABPAB102sin()4PAB[10,25]．故选B．【叮嘱】对于直线过定点，有以下常用结论：若直线l：ykxm（其中m为常数），则直线l必过定点0,m；若直线l：ykxnk（其中n为常数），则直线l必过定点,0n；若直线l：ykxnkb（其中,nb为常数），则直线l必过定点,nb；若直线l：xtym（其中m为常数），则直线l必过定点,0m；若直线l：xtynt（其中n为常数），则直线l必过定点0,n；若直线l：xtyntb（其中,nb为常数），则直线l必过定点,bn。3.【2012浙江】设aR，则“1a”是“直线1l：210axy与直线2l：(1)40xay平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线1l：210axy与直线2l：(1)40xay平行”的充要条件是(1)2aa，解得，1a或2a，所以是充分不必要条件。故选：A.题组二：圆的方程4.【2020年北京卷】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.7【答案】A.【解析】设圆心,Cxy，则22341xy，化简得22341xy，所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1为半径的圆，所以||1||OCOM22345，所以||514OC，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.5．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】2220xyx【解析】设圆的方程为220xyDxEyF，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则01104020FDEFDF，解得200DEF，则圆的方程为2220xyx．6．【2015北京文】圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是A．22(1)(1)1xyB．22(1)(1)1xyC．22(1)(1)2xyD．22(1)(1)2xy【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为2r，则圆的标准方程为22112xy．题组三：直线与圆相交7.【2021北京卷9】曲线22:4Cxy，直线:Lykxm，k变化时，直线L截曲线C的最小弦长为2，则m的值为A．2B．2C．3D．3【答案】C【解析】由圆的性质知，当0k时，圆心到直线的距离最大，弦长最小，故此时有2214m，所以3m.8．【2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）】已知圆2260xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】圆2260xyx化为22(3)9xy，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP根据弦长公式得最小值为229||2982CP.故选：B.9.【2015全国1卷文】已知过点1,0A且斜率为k的直线l与圆C：22231xy交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）12OMON，其中O为坐标原点，求MN.【答案】（I）4747,33骣-+琪琪桫（II）2【解析】(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为l与C交于两点，所以|2k－3＋1|1＋k21，解得4－73k4＋73，所以k的取值范围为4－73，4＋73.（II）设1122(,),(,)MxyNxy.将1ykx=+代入方程()()22231xy-+-=,整理得22(1)-4(1)70kxkx+++=,所以1212224(1)7,.11kxxxxkk++==++21212121224(1)1181kkOMONxxyykxxkxxk+?+=++++=++,由题设可得24(1)8=121kkk+++，解得=1k，所以l的方程为1yx=+.故圆心在直线l上，所以||2MN=.题组四：直线与圆相切10．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）】已知⊙M：222220xyxy，直线l：220xy，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为（）A．210xyB．210xyC．210xyD．210xy【答案】D【解析】圆的方程可化为22114xy，点M到直线l的距离为2221125221d，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP，所以14442PAMPMABSPAAMPA，而24PAMP，当直线MPl时，min5MP，min1PA，此时PMAB最小．∴1:112MPyx即1122yx，由1122220yxxy解得，10xy．所以以MP为直径的圆的方程为1110xxyy，即2210xyy，两圆的方程相减可得：210xy，即为直线AB的方程．故选：D.11．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）】若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+12【答案】D【解析】设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00x，函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx，设直线l的方程为00012yxxxx，即0020xxyx，由于直线l与圆2215xy相切，则001145xx，两边平方并整理得2005410xx，解得01x，015x（舍），则直线l的方程为210xy，即1122yx.故选：D.12.【2020•全国2卷】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230xy的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B【解析】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,aa，则圆的半径为a，圆的标准方程为222xayaa.由题意可得22221aaa，可得2650aa，解得1a或5a，所以圆心的坐标为1,1或5,5，圆心到直线的距离均为121132555d；圆心到直线的距离均为225532555d圆心到直线230xy的距离均为22555d；所以，圆心到直线230xy的距离为255.故选：B.题组五：直线与圆相离13.【2020年全国1卷】已知⊙M：222220xyxy，直线l：220xy，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为（）A.210xyB.210xyC.210xyD.210xy【答案】D【解析】圆的方程可化为22114xy，点M到直线l的距离为2221125221d，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP，所以14442PAMPMABSPAAMPA，而24PAMP，当直线MPl时，min5MP，min1PA，此时PMAB最小．∴1:112MPyx即1122yx，由1122220yxxy解得，10xy．所以以MP为直径的圆的方程为1110xxyy，即2210xyy，两圆的方程相减可得：210xy，即为直线AB的方程．故选：D.14．【2018年全国卷Ⅲ理数高考试题】直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP△面积的取值范围是A．26，B．48，C．232，D．2232，【答案】A【解析】 直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点A2,0,B0,2,则AB22点P在圆22x22y（）上,圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d故点P到直线xy20的距离2d的范围为2,32则22122,62ABPSABdd故答案选A.15．【2016年全国普通高等学校招生统一考试】圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a()A．43B．34C．3D．2【答案】A【解析】由2228130xyxy配方得22(1)(4)4xy，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，所以224111aa，解得43a，故选A.1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝0【答案】C【解析】AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为2,3，圆x2＋y2－6x＝0的圆心为()3,0，则两圆圆心所在直线的方程为320332yx，即3x－y－9＝0.故选：C.2．已知直线310kxyk，当k变化时，所有直线都恒过点（）A．(0,0)B．(0,1)C．(2,1)D．(3,1)【答案】D【解析】310kxyk可化为(3)(1)0kxy，∴直线过定点(3,1)，故选：D.3．圆22(1)