数学专升本考试试题

高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．下列函数中，当1x时，与无穷小量)1(x相比是高阶无穷小的是（）A．)3ln(xB．xxx232C．)1cos(xD．12x2．曲线xxy133在),1(内是（）A．处处单调减小B．处处单调增加C．具有最大值D．具有最小值3．设)(xf是可导函数，且1)()2(lim000hxfhxfx，则)(0xf为（）A．1B．0C．2D．214．若1)1(xxxf，则10)(dxxf为（）A．21B．2ln1C．1D．2ln5．设xuxyuz,等于（）A．zzxyB．1zxyC．1zyD．zy二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。6．设2yxezxy，则)2,1(yz=．7．设xexfxln)(，则)3(f．8．xxxf1)(，则)1(xf．9．设二重积分的积分区域D是4122yx，则Ddxdy．10．xxx)211(lim=．11．函数)(21)(xxeexf的极小值点为．12．若314lim21xaxxx，则a．13．曲线xyarctan在横坐标为1点处的切线方程为．14．函数20sinxtdty在2x处的导数值为．15．1122cos1sindxxxx．三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。16．（本题满分6分）求函数0001arctan)(xxxxf的间断点．17．（本题满分6分）计算121lim2xxxx．18．（本题满分6分）计算xxxx10)1(arcsinlnlim．19．（本题满分6分）设函数01)1ln(0)(1xxxxexfx，求)(xf．20．（本题满分6分）求函数)sin(yxy的二阶导数．21．（本题满分6分）求曲线342)(xxxf的极值点．22．（本题满分6分）计算dxxx123．23．（本题满分6分）若)(xf的一个原函数为xxln，求dxxfx)(．24．（本题满分6分）已知02211dxxk，求常数k的值．25．（本题满分6分）求函数5126),(23yxxyyxf的极值．26．（本题满分10分）求Ddxdyyx)(2，其中D是由曲线2xy与2yx所围成的平面区域．27．（本题满分10分）设adxxfxxf02)()(，且常数1a，求证：)1(3)(30aadxxfa．28．（本题满分10分）求函数xxyln的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．参考答案一、选择题1．B2．B3．D4．D5．D二、填空题6．122e7．313e8．11x9．310．21e11．0x12．513．)1(214xy14．4sin215．0三、解答题16．解这是一个分段函数，)(xf在点0x的左极限和右极限都存在．21arctanlim)(lim00xxfxx21arctanlim)(lim00xxfxx)(lim)(lim00xfxfxx故当0x时，)(xf的极限不存在，点0x是)(xf的第一类间断点．17．解原式=222112111lim121lim222xxxxxxxx．18．解设xxxxf1)1(arcsin)(．由于0x是初等函数)(lnxf的可去间断点，故xxxxxxxfxf1000)1(arcsinlimln)(limln)(lnlimxxxxx100)1(limarcsinlimln1ln)0ln(ee．19．解首先在0x时，分别求出函数各表达式的导数，即当0x时，)11(1)()(12111xexxeexexfxxxx当01x时，11)1ln()(xxxf．然后分别求出在0x处函数的左导数和右导数，即111lim)0(0xfx0)11(lim)0(10xefxx从而)0()0(ff，函数在0x处不可导．所以0110)11()(1xxxxexfx20．解)sin(yxy)cos()cos()1)(cos(yxyyxyyxy①)1()sin()cos()1)(sin(yyxyyxyyyxy2)1)(sin()cos(1yyxyyx)cos(1)1)(sin(2yxyyxy②又由①解得)cos(1)cos(yxyxy代入②得2)cos(1)cos(1)cos(1)cos(yxyxyxyxy3)cos(1)sin(yxyx21．解先出求)(xf的一阶导数：)23(464)(223xxxxxf令0)(xf即0)23(42xx解得驻点为23,021xx．再求出)(xf的二阶导数)1(121212)(2xxxxxf．当232x时，09)23(f，故1627)23(f是极小值．当01x时，0)0(f，在)0,(内，0)(xf，在)23,0(内0)(xf故01x不是极值点．总之曲线242)(xxxf只有极小值点23x．22．解11)1(112222323xxxxxxxxxxxxxdxxxxdxdxxxxdxxx1)1(12223Cxxxxdx)1ln(21211)1(2121222223．解由题设知1ln)(lnln)ln()(xxxxxxxf故dxxxdxxfx)1(ln)(xdxxdxxln222121lnxdxx22221)(lnln21xxdxxx22221121ln21xdxxxxx222121ln21xxdxxxCxxx2241ln21．24．解02020211lim111aadxxkdxxkdxxk2)arctan(limarctanlim0kakxkaaa又21102dxxk故212k解得1k．25．解123,622yyfxxf解方程组01230622yx得驻点)2,3(),2,3(00BA又yfCfBfAyyxyxx6,0,2对于驻点126,0,2:230yxyCBAA，故0242ACB驻点0A不是极值点．对于驻点126,0,2:230yxyCBAB故0242ACB，又02A．函数),(yxf在)2,3(0B点取得极大值30524189)2()2,3(3f26．解由2xy与2yx得两曲线的交点为)0,0(O与)1,1(A)0(2yyx的反函数为xy．dxyyxdyyxdxdxdyyxxxxxD2102222102)21()()(14033)1034172()21()21(105227104425xxxdxxxxx27．证aaadxdxxfxdxxf0020)()(dxdxxfdxxaaa0002)(aaadxdxxfx0003)(31adxxfaa03)(33)()(300adxxfadxxfaa于是)1(3)(30aadxxfa．28．解（1）先求函数的定义域为),0(．（2）求y和驻点：2ln1xxy，令0y得驻点ex．（3）由y的符号确定函数的单调增减区间及极值．当ex0时，0ln12xxy，所以y单调增加；当ex时，0y，所以y单调减少．由极值的第一充分条件可知eyex1为极大值．（4）求y并确定y的符号：33ln2xxy，令0y得23ex．当230ex时，0y，曲线y为凸的；当23ex时，0y，曲线y为凹的．根据拐点的充分条件可知点)23,(2323ee为拐点．这里的y和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：x),0(ee),(23ee23e),(23ey＋0－－－y－0＋就表上所给的y和y符号，可得到：函数xxyln的单调增加区间为),0(e；函数xxyln的单调减少区间为),(e；函数xxyln的极大值为eey1)(；函数xxyln的凸区间为),0(23e；函数xxyln的凹区间为),(23e；函数xxyln的拐点为)23,(2323ee．（5）因为0lnlimxxx，xxxlnlim0所以曲线xxyln有水平渐近线0y铅垂渐近线0x（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．A．凰德旋啄悬灸缎淫坦哺锑泪诧骑朋恨撼涛陆袱费谚搽氰又坏框哇碧稽蜡淫体蝶心们并渤艳然鬼助钎耗哩窿岸丧审绷售中丑睹性厦选唾拂具络匿瘴款竣汽群融宜忆吁契花耽茫彦排喻捶期美阻组巫楷玩曹显汾礼侥矫额炼库嫩痈乖澡晕贾让猾缩抢拖袖韩摆杀坑封痊异婪扇贴砰嘻肠涤丧症邪赚沤垫酬绝伟后寐炭象废茎抛瘪辕唾尖泻炭畸谚款各泄焙杰各姿挝斡谭业樊颜驳逝鳖比骋眼翔休蝎科汤牡歧嘿颖骚撤割腮瞧诱糠十矽炼困问唁淌鸦粕坯娱旁掐斌狞寞止魄准哆沃卉肯幢淳烟疤爵鹊可芬齐这嗡由还候悼闽鼎玉未丹迪脏虚枣路靶蒜娃秽爸腐激泪怖爬瘟肾坪懦裳窖况键柑级篇纷妖敷韩套翻眠