易错点16 椭圆答案-备战2023年高考数学易错题

易错点16椭圆易错点1：焦点位置不确定导致漏解要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,abc之间的大小关系和等量关系：易错点2：椭圆的几何性质易错点3：直线与椭圆的位置关系（1）忽视直线斜率为0或不存在的情况（2）在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.易错点4：求轨迹方程时，忽视对结论进行验证。题组一：椭圆的定义与焦点三角形1.（2019年全国文科1卷）已知椭圆C的焦点为1(1,0)F，2(1,0)F，过2F的直线与C交于A，B两点．若22||2||AFFB，1||||ABBF，则C的方程为()A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy【答案】B【解析】法1：由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1B中，由余弦定理的推论得22214991cos2233nnnFABnn+-?=鬃,在ΔAF1F2中，由余弦定理得2213442234,32nnnnn+-鬃?=解得,2423,3ana\===,222312,bac\=-=-=221.32xyB所求椭圆得方程为，选法2：由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n，由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,所以|AF1|=2a-|AF2|=2n,在ΔAF1F2和ΔBF1F2，由余弦定理得2221222144222cos444222cos9nnAFFnnnBFFnì+-鬃?ïí+-鬃?ïî又因为∠AF2F1和∠BF2F1，所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,消去cos∠AF2F1和cos∠BF2F得32n=所以3,2,ab==221.32xyB所求椭圆的方程为，选2.（2019年全国3卷）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若△为等腰三角形，则的坐标为．【答案】()3,15【解析】设M(m,n),m,n0,由题意得26,25,4,3cabcea=====，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1||MF2|,ΔMF1F2为等腰三角形，可能|MF1|=2c或|MF2|=2c,即有2268,3,15,68,30,(3,1533mmnmm即或即舍去），可得M1F2F22:13620xyCMC12MFFM故答案为()3,153.(2013新课标1)已知圆M：1)1(22yx，圆N：9)1(22yx，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.则C的方程为________【答案】221(2)43xyx+=?【解析】因为圆P与圆M外切并与圆N内切，所以2421=+=+rrPNPM，由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆（左顶点除外），其方程为：221(2)43xyx+=?题组二：椭圆的标准方程4.（2019新课标2卷）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（）A．2B．3C．4D．8【答案】D【解析】由题意可知:23,=82pppp解得，骣琪-=琪桫故选D5.（2017新课标1卷）已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上，则C的方程是______________。【解析】由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点．又由222211134abab知，C不经过点1P，所以点2P在C上．因此222111314bab，解得2241ab．故C的方程为2214xy．6.（2014新课标1卷）已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，E的方程是____________.【解析】设F(c,0),由条件知，2233,3,,32ccca===得又2222,1abac所以，故椭圆E得方程为2214xy+=22(0)ypxp2213xypp题组三：椭圆的几何性质7．（2021年全国乙卷）设B是椭圆2222:10xyCabab的上顶点，若C上的任意一点P都满足2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A.2[,1)2B.1[,1)2C.2(0,]2D.1(0,]2【答案】C【解析】B点坐标为0,b，可以看成以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点.即222222214xyabxybb至多一个解，消去x得222222231,baybyabb0,即22220ab，22e,所以202e，.8．（2021年浙江卷）已知椭圆222210xyabab，焦点1,0Fc，2,0Fc，若过1F的直线和圆22212xcyc相切，与椭圆的第一象限交于点P，且2PFx轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是．【答案】255；55．【解析】法一（解析几何角度）：设切线方程为ykxc2321ckdck255k又与椭圆的第一象限交于点P，255k2PFx轴，2,bPca2255bakcc，22212522225baceacace，55e．法二（平面几何角度）：在1AFC中，112sin332ACcAFCcFC，125tan5kAFC，21222bPFaPFaa，在12PFF中，221212sin32bPFaAFCbPFaa22223bbaaa，222554acbaaa55e．9．（2017新课标3卷）已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右顶点分别为12,AA，且以线段12AA为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（）A．63B．33C．2３D．13【答案】A【解析】由题意可得，原点到直线的距离22222,3abaabab==+化为所以椭圆C的离心率22613cbeaa==-=，故选A.题组四：直线与椭圆的位置关系10.（2013新课标2卷）过椭圆M：)0(12222babyax右焦点的直线30xy交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为21，M的方程为_________【解析】把右焦点(c,0)代入直线30xy得3=c设112200(,),(,),,)AxyBxyABPxy线段的中点（，即2222112222221,1xyxyabab则200122120011,2OPxyyybkxxayx又，则222ab，联立222222223,6,3abcababc解得.故M的方程式为22163xy．11.（2013新课标1卷）已知椭圆E：)0(12222babyax的右焦点为)03(,F，过点F的直线交椭圆E于A、B两点。若AB的中点坐标为)11(,，则E的方程为()A．x245＋y236＝1B．x236＋y227＝1C．x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1【解析】设1122(,),(,)AxyBxy，即2222112222221,1xyxyabab则22121222121220112312yyxxbbxxayya，则221,2ba则222ab，联立222222223,18,9abcababc解得,故E的方程式为221189xy．12．（2021年新高考1卷）在平面直角坐标系xOy中，已知点1(17,0)F，2(17,0)F，点M满足122MFMF，记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点T在直线12x上．过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且||||||||TATBTPTQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．【答案】（1）221016yxx；（2）0．【解析】（1）由题意可知：轨迹C为实轴为2，焦距为217的双曲线的右支．从而可以直接写出轨迹方程为221016yxx．（2）方法一：设T为01(,)2y，直线TAB为01()2ykxy.又2216160xy，将001()22kykxykxy代入可得：220016()162kxkxy22200(16)2()()1622kkkxkyxy.设1222,,,AxyBxy，则01222()216kkyxxk，20122()16216kyxxk.221212121111||||=()()(1)[()](1)2224TATBxxkxxxxk22220002220222()16()161211224()(1)()(1)()(1)16416416kkkykyyykkkkkk即222002211712(1)(12)||||16=16()()kyykABkTT.直线TPQ斜率为t，则有20217||||(1)(12)16TPTQyt，其中tk.由||||||||TATBTPTQ可知，220tkkt.方法二：设T为1(,)2m，直线TAB为111cos2sinxtymt．22161600xyx，代入轨迹C中可得：222221111116(coscos)(+sin2sin)1604ttmtmt．整理得2222111116cossin16cos2sin120tmtm．设1OAt，2OBt，3OPt，4OQt，则22122221111212sin16cos117cosmmtt，设直线TPQ为221cos2sinxtymt，同理22342222221212sin16cos117cosmmtt，22123412coscostttt有12，从而12π，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.1．已知椭圆222125xym（0m）的左焦点为14,0F，则mA．2B．3C．4D．9【答案】B【解析】由题意得：222549m，因为0m，所以3m，故选C．2．已知椭圆2222 1xyab（a＞b＞0）的离心率为12，则（）A．a2=2b2B．3a2=4b2C．a=2bD．3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2cecaba，化简得2234ab，故选B．3.已知F1，F2是椭圆C:x2a2＋y2b2＝1（ab0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，ΔPF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=1200，则C的离心率为()A．23B．12C．13D．14【答案】D【解析】直线AP的方程为()3,6yxa=+由∠F1F2P=1200，|PF2|=|F1F2|=2c,则()2,3Pcc代入直线AP的方程得ca4=,故所求椭圆得离心率为41==ace4.已知椭圆E：)0(12222babyax的右焦点为)03(,F，过点F的直线交椭圆E于A、B两点。若AB的中点坐标为)11(,，则E的方程为()A．x245＋y236＝1B．x236＋y227＝1C．x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1【答案】D【解析】设1122(,),(,)AxyBxy，即222211222222