易错点9平面向量答案-备战2023年高考数学易错题

易错点09平面向量平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热点之一．对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来．本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率．易错点1：忽略零向量；易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量ba与实数a·b；易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”；(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos||||abab(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.易错点4：向量数量积ba的几何意义中cosb的叫做b在a方向上的正射影的数量，它是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分.易错点5：向量数量积ba0并不等价于向量a与b的夹角为锐角；易错点6：三点共线问题1.若A、B、C三点共线，且OCOBOA,则12.ADxAByAC中,xy确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,xy（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程ADxAByAC，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,xy的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,xy的方程，再进行求解3.(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使ABAC，则A，B，C三点共线．【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.易错点7：向量与三角形的综合(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.题组1：线性运算1（2018年新课标1卷）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=()A．34AB→-14AC→B．14AB→-34AC→C．34AB→+14AC→D．14AB→+34AC→【答案】A【解析】()11312444EBEAABADABABACABABAC=+=-+=-++=-故选A2．(2015高考数学新课标1理科)设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则()A．1433ADABACB．1433ADABACC．4133ADABACD．4133ADABAC【答案】A解析：由题知11()33ADACCDACBCACACAB=1433ABAC，故选A．3.（2014新课标1）设FED,,分别为ABC的三边ABCABC,,的中点，则FCEBA．ADB．AD21C．BC21D．BC【答案】A【解析】111()()()222EBFCBABCCACBABACAD,故选A4.(2013新课标2理科)已知正方形的边长为,为的中点,则．【答案】2【解析】在正方形中，,,所以题组2：共线定理的应用5．（2021新高考1卷）在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中0,1，0,1，则A．当1时，1ABP△的周长为定值B．当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C．当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD．当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP【答案】BD【解析】由点P满足1BPBCBB，可知点P在正方形11BCCB内．ABCD2ECDAEBD12AEADDCBDBAADADDC2222111()()222222AEBDADDCADDCADDCA选项，当1时，可知点P在线段1CC（包括端点）上运动．1ABP△中，12AB，21AP，2111BP，因此周长1LABAPBP不为定值，所以选项A错误；B选项，当1时，可知点P在线段11BC（包括端点）上运动．由图可知，线段11BC//平面1ABC，即点P到平面1ABC的距离处处相等，1ABC△的面积是定值，所以三棱锥1PABC的体积为定值，所以选项B正确；C选项，当12时，分别取线段BC，11BC中点为D，1D，可知点P在线段1DD（包括端点）上运动．很显然若点P与D或1D重合时，均满足题意，所以选项C错误．BCC1B1PABCA1B1C1PABCA1B1C1PD选项，当12时，分别取线段1BB，1CC中点为M，N，可知点P在线段MN（包括端点）上运动．此时，有且只有点P与N点重合时，满足题意.所以选项D正确．因此，答案为BD.6．（2020年江苏卷）在△ABC中，43=90ABACBAC，，∠，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若3()2PAmPBmPC（m为常数），则CD的长度是________．【答案】0或185.【解析】∵,,ADP三点共线，∴可设0PAPD，∵32PAmPBmPC，∴32PDmPBmPC，即32mmPDPBPC，若0m且32m，则,,BDC三点共线，∴321mm，即32，∵9AP，∴3AD，∵4AB,3AC,90BAC，∴5BC，ABCA1B1C1DD1PABCA1B1C1MNPABCA1B1C1MN(P)设CDx，CDA，则5BDx，BDA.∴根据余弦定理可得222cos26ADCDACxADCD，222257cos265xADBDABADBDx，∵coscos0，∴2570665xxx，解得185x，∴CD的长度为185.当0m时，32PAPC，,CD重合，此时CD的长度为0，当32m时，32PAPB，,BD重合，此时12PA，不合题意，舍去.故答案为：0或185.7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点在中，有即所以圆的方程为可设由可得ABCD1AB2ADPCBDAPABAD32252AABxADy0,0A1,0B0,2D1,2CBDCCEBDERtBDC225BDABAD1122ACDSBCCDBDCE△1125125225CECEC224125xy25251cos,2sin55PAPABAD25251cos,2sin,255所以，所以其中，所以的最大值为，故选A．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线的距离为所以，所以的最大值为，故选A．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A．法三：如图，建立平面直角坐标系251cos551sin52552cossin552sin25sin55cos53CCEBDE1AB2AD22125BD1122ACDSCDCBBDCE△255CEPFHDBABDCBD255AFH25252565225555r6553255AFAB3PAGxAByADxy2ADDFFG3,0xy设根据等面积公式可得圆的半径是，即圆的方程是，若满足即，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A．法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．0,1,0,0,2,1,,ABDPxy2522425xy,1,0,1,2,0APxyABADAPABAD21xy,12xy12xy12xzy102xyz,Pxy22425xydr221514z13zz33BDCECEAADxAByC(2,1)||1CD||2BC22125BDBDCECEBDCERtBCD△BD12||||2222||5||||55BCDBCCDSECBDBD△C255PCP224(2)(1)5xy设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，．∵∴，．两式相加得：(其中，)当且仅当，时，取得最大值3．题组3:共线向量的坐标运算8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量1,2a，2,2b，1,c，若//2cab，则．【答案】12【解析】依题意可得22,42,24,2ab，又1,c，//2cab所以4210，解得12．9．(2015高考数学新课标2理科)设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_________．【答案】12【解析】因为向量ab与2ab平行，所以2abkab（），则12,kk，所以12．题组4：垂直向量P00(,)xyP00225cos5215sin5xy00(,)APxy(0,1)AB(2,0)AD(0,1)(2,0)(2,)APABAD0151cos25x0215sin5y222515sin1cos552552()()sin()552sin()3≤5sin525cos5π2π2kkZ10．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则__________．【答案】35【解析】因为1,33,413,34ab，所以由abb可得，3134340，解得35．故答案为：35．11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量a,b的夹角为45°，kab与a垂直，则k=__________．【答案】22【解析】由题意可得：211cos452ab，由向量垂直的充分必要条件可得：0kaba，即：2202kaabk，解得：22k．故答案为：22．题组5：向量的数量积运算11．（2021上海卷）如图，正方形ABCD的边长为3，求ABAC________．【答案】9【解析】由题意得:29ABACABAB