第02讲 常用逻辑用语（解析版）

第02讲常用逻辑用语【知识点总结】一、充分条件、必要条件、充要条件1．定义如果命题“若p，则q”为真(记作pq)，则p是q的充分条件；同时q是p的必要条件.2．从逻辑推理关系上看（1）若pq且qp¿，则p是q的充分不必要条件；（2）若pq¿且qp，则p是q的必要不充分条件；（3）若pq且qp，则p是q的的充要条件(也说p和q等价)；（4）若pq¿且qp¿，则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得p成立，必须要q成立(即如果q不成立，则p肯定不成立).注：根据互为逆否命题等价.若有pq，则一定有qp.3．从集合与集合之间的关系上看设|(),|()AxpxBxqx.（1）若AB，则p是q的充分条件(pq)，q是p的必要条件；若AB躡，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即pq且qp¿；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.（2）若BA，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；（3）若AB，则p与q互为充要条件.二、全称量词与存在童词（1）全称量词与全称命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中的任意一个x，有()px成立”可用符号简记为“,()xMpx”，读作“对任意x属于M，有()px成立”.（2）存在量词与特称命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个0x，使0()px成立”可用符号简记为“00,()xMPx”，读作“存在M中元素0x，使0()px成立”（特称命题也叫存在性命题）.三、含有一个量词的命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题.全称命题:,()pxMpx的否定p为0xM，0()px.（2）特称命题的否定是全称命题.特称命题00:,()pxMpx的否定p为,()xMpx.注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一.区别否命题与命题的否定:①只有“若p，则q”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式(在高中阶段只对全称、特称命题研究否定定形式)；命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q，而否定形式为“若p，则q”.②一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系.【典型例题】例1．（2021·江苏省前黄高级中学高三阶段练习）设集合A、B是全集U的两个子集，则“AB”是“UABð”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】如图所示，UABABð，同时UABABð.故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x的不等式1xa成立的充分条件是04x，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)【答案】D【详解】1xa成立的充分条件是04x，则0a，111xaaxa，所以10314aaa.故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题:,2pxAxB，则（）A．:,2pxAxBB．:,2pxAxBC．:,2pxAxBD．:,2pxAxB【答案】C【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得全称命题的否定一定是存在性命题，可得命题“:,2pxAxB”的否定为：“:,2pxAxB”故选：C.（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（）A．0xR，200104xxB．所有的正方形都是矩形C．0xR，200220xxD．至少有一个实数x，使310x【答案】AC【详解】对于A，原命题的否定为：xR，2104xx≥，是全称命题；2211042xxx，命题的否定为真命题，A正确；对于B，原命题为全称命题，其否定为特称命题，B错误；对于C，原命题的否定为：xR，2220xx；2222111xxx，2220xx恒成立，则命题的否定为真命题，C正确；对于D，原命题的否定为：对于任意实数x，都有310x；当1x时，310x，命题的否定为假命题，D错误.故选：AC.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知2:340,:3pxxqxm，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_________．【答案】4,【详解】∵由2340xx，得14x，由p是q的充分不必要条件知：3xm有解，故0m，即原不等式可化为：3mxm，解得：33mxm，设14Axx，33Bxmxm，p是q的充分不必要条件，A是B的真子集,则03134mmm且等号不同时成立，解得：4m≥，故m的取值范围是4,．故答案为：4,.例6．（2022·全国·高三专题练习）若2,230xRxmx恒成立，则实数m的取值范围为________.【答案】[26,26].【详解】由题意，命题2,230xRxmx恒成立，可得2240m，解得2626m，即实数m的取值范围为[26,26].故答案为：[26,26].【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知R上函数fx，则“(0)0f”是“函数()fx为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得正确的选项.【详解】取1fxxx，则00f，但10,12,11ffff，所以函数()fx不是奇函数；故“(0)0f”推不出“函数()fx为奇函数”，若函数()fx为奇函数，则00ff即00f，故“函数()fx为奇函数”能推出“(0)0f”.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，再利用x∈M∩P与x∈M∪P之间的关系即可判断出结论．【详解】“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，M∪P＝{x|x＞2}∪{x|x＜6}＝R，M∩P＝{x|2＜x＜6}．∴x∈M∩P⇒x∈M∪P，反之不成立．∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选：C．3．（2022·浙江·高三学业考试）“22ab”是“22loglogab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由22ab是否得出22loglogab，判定充分性；由22loglogab是否推出22ab，判定必要性是否成立．【详解】∵22ab等价于ab，当0ab?或0ab时，22loglogab不成立；∴充分性不成立；又∵22loglogab等价于0ab，有22ab；∴必要性成立；∴“22ab”是“22loglogab”的必要不充分条件．故选：B．4．（2022·全国·高三专题练习）已知命题p：0Rx，00e10xx，则p为（）A．0Rx，00e10xxB．0Rx，00e10xxC．Rx，e10xxD．Rx，e10xx【答案】C【分析】根据特称命题的否定变量词否结论即可得正确答案.【详解】命题p：0Rx，00e10xx，则p为Rx，e10xx，故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，真命题的是（）A．函数sin||yx的周期是2B．2,2xxRxC．函数2()ln2xfxx是奇函数.D．0ab的充要条件是1ab【答案】C【分析】选项A，由sin||sin|2|33可判断；选项B，代入2x，可判断；选项C，结合定义域和()()fxfx，可判断；选项D，由1ab得0ab且0b，可判断【详解】由于353sin||,sin|2|sin()32332，所以函数sin||yx的周期不是2，故选项A是假命题；当2x时22xx，故选项B是假命题；函数2()ln2xfxx的定义域(2,2)关于原点对称，且满足()()fxfx，故函数()fx是奇函数，即选项C是真命题；由1ab得0ab且0b，所以“0ab”的必要不充分条件是“1ab”，故选项D是假命题故选：C6．（2022·浙江·高三专题练习）给出下面四个命题：①函数2()2xfxx在(3，5)内存在零点；②函数221()2R2fxxxx（）的最小值是2；③若0,ab则11ab；④命题的“20,20xxx”否定是“20,20xxx”其中真命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】对选项进行判断得解【详解】①函数2()2xfxx在(3，5)内存在零点；(4)0f，所以①正确②函数221()2R2fxxxx（）的最小值是2；221()222fxxx当且仅当22122xx时等号成立，此时无解所以②不正确③若0,ab则11ab；由不等式性质知③不正确④命题的“20,20xxx”否定是“20,20xxx”故④不正确故选：A7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p：xR，220xaxa，若p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．1,B．0,1C．0,1D．0,1【答案】C【分析】根据题设条件由22xaxa的最小值大于0即可得解.【详解】依题意，22222()xaxaxaaaaa，当且仅当x=-a时取“=”，因命题p是假命题，即没有实数使得220xaxa成立，从而有20aa，解得01a，所以实数a的取值范围是0,1.故选：C8．（2022·全国·高三专题练习（理））下列命题中，真命题是（）A．在ABC中“AB”是“sinsinAB”的充分不必要条件B．命题“xR，20x”的否定是“xR，20x”C．对任意xR，2xxeeD．“若1x，则0x”的否命题是“若1x，则0x”【答案】C【分析】利用正弦定理、命题的否定和否命题的关系、基本不等式分别对选项A、B和D、C进行判断即可求解．【详解】解：对于A：在ABC中，当“AB”时，则ab，所以由正弦定理有“sinsinAB”，当“sinsinAB”时，由正弦定理得2sin2sinRARB，故ab，所以“AB”是“sinsinAB”的充分必要条件，故A错误；对于B：命题“xR，20x…”的否定是“0xR，200x”故B错误；对于C：对任意的xR，22xxxxeeee（当且仅当0x时等号成立），故C正确；对于D：“若1x，则0x”的否命题是“若1x„，则0x„”，故D错误；故选：C．9．（2022·全国·高三专题练习）已知命题:pxR，3lnxx，命题:qxR，20x，则（）A．pq是假命题B．pq是真命题C．pq是真命题D