第03讲 函数的概念（解析版）

第03讲函数的概念【知识点总结】一、函数的概念设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)x∈A·其中x叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合{|(),}CyyfxxA叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集.注函数即非空数集之间的映射注构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.二、函数的定义域求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tanyx的定义域是,xxR且,2xkxkZ；（6）已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.三、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.四、函数的解析式求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出fx，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数fgx的表达式求fx的解析式的问题，令gxt，解出x，然后代入fgx中即可求得ft，从而求得fx，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将fgx右端的代数式配凑成关于gx的形式，进而求出fx的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx在定义域R上单调，且(0,)x时均有(()2)1ffxx，则(2)f的值为（）A．3B．1C．0D．1【答案】A【详解】根据题意，函数()fx在定义域R上单调，且(0,)x时均有(()2)1ffxx，则()2fxx为常数，设()2fxxt，则()2fxxt，则有()21fttt，解可得1t，则()21fxx，故(2)413f；故选：A.例2．（2022·全国·高三专题练习）函数1,102,0xxfxxx，若实数a满足()(1)fafa，则1fa（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【详解】由题意可得1,102,0xxfxxx的定义域为1,，1fxx在1,0上单调递增，2fxx在0,上单调递增，若()(1)fafa，所以1100aa，可得01a，由()(1)fafa可得112aa，解得：14a，所以14248ffa，故选：D.例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的265yxx值域为（）A．0,B．0,2C．2,D．2,【答案】B【详解】令265uxx，则0u且yu又因为2265344uxxx，所以04u，所以0,2yu，即函数的265yxx值域为0,2，故选：B.（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（）A．式子11yxx可表示自变量为x、因变量为y的函数B．函数yfx的图象与直线1x的交点最多有1个C．若1fxxx，则112ffD．22fxxx与22gttt是同一函数【答案】BCD【详解】对于A选项，对于函数11yxx，有1010xx，此不等式组无解，A错；对于B选项，当函数yfx在1x处无定义时，函数yfx的图象与直线1x无交点，当函数yfx在1x处有定义时，函数yfx的图象与直线1x只有1个交点，所以，函数yfx的图象与直线1x的交点最多有1个，B对；对于C选项，因为1fxxx，则102f，故1012fff，C对；对于D选项，函数22fxxx与22gttt的定义域均为R，且对应关系相同，故22fxxx与22gttt是同一函数，D对.故选：BCD.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.【答案】③【详解】①②④满足函数的定义，所以是函数，对于③，因为当x＝4时，28433yQ，所以③不是函数．故答案为：③例6．（2022·全国·高三专题练习）函数()ln(13)fxx的定义域为______．【答案】2,3【详解】依题意1303123303xxxxx，所以fx的定义域为2,3.故答案为：2,3例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()yfx的定义域为[0,1]，求函数2(1)yfx的定义域；（2）已知(21)yfx的定义域为[0,1]，求()yfx的定义域；（3）已知函数()yfx的定义域为[0,2]，求函数(2)()21fxgxx的定义域．【详解】（1）∵2(1)yfx中的21x的范围与()yfx中的x的取值范围相同．∴2011x，∴0x，即2(1)yfx的定义域为{0}．（2）由题意知(21)yfx中的[0,1]x，∴1211x.又(21)yfx中21x的取值范围与()yfx中的x的取值范围相同，∴()yfx的定义域为[1,1]．（3）∵函数()yfx的定义域为[0,2]，由2[0,2]x，得01x，∴(2)yfx的定义域为[0,1]．又210x，即12x，∴函数()ygx的定义域为11[0,)(,1]22.例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：（1）已知f(x＋1)＝x＋2x；（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【详解】(1)(方法1)(换元法)：设t＝x＋1，1t，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(方法2)(配凑法)：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1.(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=21yy，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（）A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±xD．M＝R，N＝R，f：x→y＝1x【答案】B【分析】根据函数的定义，要求集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，对选项逐一分析得到结果.【详解】A中，M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，B中，M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2M中任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，C中，M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±xM中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义，D中，M＝R，N＝R，f：x→y＝1x，M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，故选：B．【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数的概念，属于基础题目.2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足：(2)2()fxfx的是A．()fxxB．()fxxxC．()1fxxD．()fxx【答案】C【详解】试题分析：A中2222fxxxfx，B中2222fxxxfx，C中2212fxxfx，D中222fxxfx考点：函数关系判断3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝22logx的定义域是（）A．0,4B．,4C．0,D．0,1．【答案】A【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数的真数大于零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意2222log0log2log40400xxxxx，所以fx的定义域为0,4.故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）函数y2161xxx的定义域为（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，1）∪（1，3]C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，3）【答案】B【分析】解不等式组26010xxx即得解.【详解】解：由题意得26010xxx，解得﹣2≤x＜1或1＜x≤3，故选：B．5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx的定义域为2,1，则函数2g13lxfxy的定义域为（）A．0,1B．0,1C．0,1D．0,1【答案】D【分析】根据函数fx的定义域以及对数的真数为正数、分母不为零可得出关于实数x的不等式组，由此可解得函数2g13lxfxy的定义域.【详解】已知函数fx的定义域为2,1，对于函数2g13lxfxy，有232110lg10xxx，即23211011xxx，解得01x.因此，函数2g13lxfxy的定义域为0,1.故选：D.6．（2022·全国·高三专题练习）若函数(1)fx的定义域为[01]，，则(lg)fx的定义域为（）A．[10100]，B．[12]，C．[01]，D．[0lg2]，【答案】A【分析】先根据函数(1)fx的定义域为[01]，，求出112x，再令1lg2x即可求求解.【详解】因为函数(1)fx的定义域为[01]，，所以112x，所以1lg2x，解得：10100x，所以(lg)fx的定义域为[1