第03讲 函数的概念（原卷版）

第03讲函数的概念【知识点总结】一、函数的概念设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)x∈A·其中x叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f（a）或y|x=2，所有函数值构成的集合{|(),}CyyfxxA叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集.注函数即非空数集之间的映射注构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.二、函数的定义域求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切tanyx的定义域是,xxR且,2xkxkZ；（6）已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.三、函数的值域求解函数值域主要有以下十种方法：（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.四、函数的解析式求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出fx，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数fgx的表达式求fx的解析式的问题，令gxt，解出x，然后代入fgx中即可求得ft，从而求得fx，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将fgx右端的代数式配凑成关于gx的形式，进而求出fx的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx在定义域R上单调，且(0,)x时均有(()2)1ffxx，则(2)f的值为（）A．3B．1C．0D．1例2．（2022·全国·高三专题练习）函数1,102,0xxfxxx，若实数a满足()(1)fafa，则1fa（）A．2B．4C．6D．8例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的265yxx值域为（）A．0,B．0,2C．2,D．2,（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（）A．式子11yxx可表示自变量为x、因变量为y的函数B．函数yfx的图象与直线1x的交点最多有1个C．若1fxxx，则112ffD．22fxxx与22gttt是同一函数例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.例6．（2022·全国·高三专题练习）函数()ln(13)fxx的定义域为______．例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知()yfx的定义域为[0,1]，求函数2(1)yfx的定义域；（2）已知(21)yfx的定义域为[0,1]，求()yfx的定义域；（3）已知函数()yfx的定义域为[0,2]，求函数(2)()21fxgxx的定义域．例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：（1）已知f(x＋1)＝x＋2x；（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（）A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±xD．M＝R，N＝R，f：x→y＝1x2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足：(2)2()fxfx的是A．()fxxB．()fxxxC．()1fxxD．()fxx3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝22logx的定义域是（）A．0,4B．,4C．0,D．0,1．4．（2022·全国·高三专题练习）函数y2161xxx的定义域为（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，1）∪（1，3]C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D．（﹣2，1）∪（1，3）5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx的定义域为2,1，则函数2g13lxfxy的定义域为（）A．0,1B．0,1C．0,1D．0,16．（2022·全国·高三专题练习）若函数(1)fx的定义域为[01]，，则(lg)fx的定义域为（）A．[10100]，B．[12]，C．[01]，D．[0lg2]，7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221111xxfxx，则fx的解析式为（）A．2211xfxxxB．2211xfxxxC．211xfxxxD．211xfxxx8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．1,xyyxB．0,1yxyC．332,yxyxD．2||,yxyx9．（2021·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．1fxx和211xgxxB．0fxx和1gxC．2fxx和21gxxD．2xfxx和2xgxx10．（2022·全国·高三专题练习）若函数fx满足122fxfxx，则2f（）A．0B．2C．3D．311．（2022·全国·高三专题练习）函数1,102,0xxfxxx，若实数a满足()(1)fafa，则1fa（）A．2B．4C．6D．812．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)=22,5(3),5xxxfxx，则f(4)+f(-4)=（）A．63B．83C．86D．9113．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=314,1,1axaxalogxx的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．0,1B．117，C．10,(17，)D．11,1,7314．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,0()23,0xaxfxaxax，满足对任意x1≠x2，都有1212fxfxxx0成立，则a的取值范围是（）A．a∈(0,1)B．a∈[34,1)C．a∈(0,13]D．a∈[34,2)15．（2022·全国·高三专题练习）已知实数0a，函数2,12,1xaxfxxax，若11fafa，则a的值为（）A．34B．34C．35-D．3516．（2022·全国·高三专题练习）已知实数1a，函数4,02,0xaxxfxx，若(1)(1)fafa，则a的值为（）A．13B．12C．14D．1817．（2022·全国·高三专题练习）设函数2,0()1,0xxfxx，则满足(1)(2)fxfx的x的取值范围是（）A．(,1]B．(0,)C．(1,0)D．(,0)18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数222,0,2,0,xxxfxxxx则不等式324fxfx的解集为（）A．,3B．3,2C．,1D．,119．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数121,02,0xxfxxx，若02fx，则0x的取值范围是（）A．,14,B．,1C．4,D．1,420．（2022·全国·高三专题练习）已知函数34,0log2,0fxxfxxx，则2021f（）A．1B．2C．3log6D．3二、多选题21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合1,1,24M，，1,2,416N，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从M到N的函数的是（）A．2yxB．yxC．2yxD．2yx=22．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数1ayx在区间2,1上有意义，则实数a可能的取值是（）A．1B．1C．3D．523．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx是一次函数，满足98ffxx，则fx的解析式可能为（）A．32fxxB．32fxxC．34fxxD．34fxx三、双空题24．（2022·全国·高三专题练习）设函数224,0,0xxfxxxx，若14fa，则a________，若方程0fxb有三个不同的实根，则实数b的取值范围是________.25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数31,1,(),1xfxxxx若01fx，则0x______；若关于x的方程()fxk有两个不同零点，则实数k的取值范围是______.四、填空题26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数123gxx，则3g______.27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx对于任意的实数x，y满足fxyfxfy，且fx恒大于0，若13f，则1f____．28．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()fx，()gx分别由下表给出x123()fx131x123()gx321则[(1)]fg的值为________________；满足[()][()]fgxgfx的x的值是______________．29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22logfxxa，若31f，则a________．30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数12xf的定义域是0,1，则函数31xyf的定义域是_________．31．（2022·全国·高三专题练习）已知fx是一次函数，且满足3121217fxfxx，求fx_____．32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数245fxxx，则fx的解析式为_______