第04讲 函数的图象（解析版）

第04讲函数的图象【知识点总结】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换（1）平移变换①函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；②函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿x轴向右平移a个单位得到的；③函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿y轴向上平移a个单位得到的；④函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿y轴向下平移a个单位得到的；（2）对称变换①()yfx的图像是将函数()fx的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称翻折上来得到的②()yfx的图像是将函数()fx的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得到函数()yfx左边的图像即函数()yfx是一个偶函数.三、函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）函数2ln()1||xfxx的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】当0x时2ln()1xfxx，则222222212ln2ln2(1ln)xxxxxfxxxx．当0ex时，0fx，所以()fx在区间(0,e)上单调递增，当ex时0fx，所以()fx在区间(e,)上单调递减，排除A，B．又2lne2(e)110lelef，排除D．故选：C．例2．（2022·全国·高三专题练习）已知21πsin42fxxx，fx为fx的导函数，则fx的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵221π1sincos424fxxxxx，∴1sin2fxxx易知1sin2fxxx是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B和D，由ππ106122f，排除C，所以A正确.故选：A.例3．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点O，水面半径AOx，此时水面高度POh，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，xhrH，即rxhH，则注入水的体积为2223211()333rrVxhhhhHH，令水匀速注入的速度为v，则注水时间为t时的水的体积为Vvt，于是得2223333222333rHvtHvhvthhtHrr，而,,rHv都是常数，即2323Hvr是常数，所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是23323Hvhtr，203rHtv，223323103Hvhtr，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.故选：A例4．（2022·全国·模拟预测）函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（）A．3()cosfxxxB．1()sinfxxxC．21()cosfxxxD．1()sinfxxx【答案】D【详解】由图知0x，排除A选项；当0x，且x趋近于0时，由图知()fx趋近于，排除B；又C选项中2211()cos()cos()()fxxxfxxx，其图象关于y轴对称，不符合.故选：D.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数21(),()sin4fxxgxx，则图象为如图的函数可能是（）A．1()()4yfxgxB．1()()4yfxgxC．()()yfxgxD．()()gxyfx【答案】D【详解】对于A，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，21sin4yfxgxxx，则212sincos4yxxxx，当4x时，22120221642y，与图象不符，排除C.故选：D.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数1xxafxax的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】按x的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论．【详解】由题意,0,0xxaxyax，∵1a，∴只有C符合．故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数21sin1xfxxe的图象大致形状为（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得；【详解】解：因为21sin1xfxxe，所以定义域为R，且221sin1sin11xxfxxxfxee，即fx为偶函数，函数图象关于y轴对称，故排除C、D；当2x时，222210111eee，sin20，所以2221sin201fe，故排除B；故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2）和（2，π）上f（x）的符号，再分析f（x）的对称性，排除BCD，即可得答案．【详解】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．在区间（0，2）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；在区间（2，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，又由当x1+x2＝π时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（2，0）对称，排除D，故选：A4．（2022·江苏·高三专题练习）设函数fx在R上可导，其导函数为fx，若函数fx在1x处取得极大值，则函数yxfx的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据导函数看正负，原函数看升降，分析出大致图像，在结合每个选项可得出答案.【详解】由函数fx在R上可导，其导函数为fx，若函数fx在1x处取得极大值，所以当1x时，0fx；1x时，0fx；1x时，0fx；所以当0x时，0yxfx，当01x时，0yxfx，当0x或1x时，0yxfx，当1x时，0yxfx，可得选项B符合题意.故选：B．5．（2022·全国·高三专题练习）函数ln,0ln(),0xxexxfxexx在2,00,2U上的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】通过函数的奇偶性可排除A，B；通过计算(2)f的值可排除C，进而可得结果．【详解】由题可知函数()fx的定义域关于原点对称，且当0x时，0x，()()ln()ln()xxfxexexfx，当0x时，0x，()ln()()xfxexfx，故()fx为偶函数，排除A，B；而222(2)ln2ln32efeee，排除C．故选：D．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x+12x，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）有最小值为n．则在平面直角坐标系中，函数1()logmgxxn的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由均值不等式易知m＝3，n＝4，则函数13()log|4|gxx，判断函数g（x）的单调性，结合选项即可得解．【详解】∵函数11()222(2)24,(2,8)22fxxxxxx，当且仅当122xx，即m＝3时取等号，∴m＝3，n＝4，则函数13()log|4|gxx的图象在（﹣4，+∞）上单调递减，在（﹣∞，﹣4）上单调递增，观察选项可知，选项A符合．故选：A．7．（2022·全国·高三专题练习）函数||3exxxf的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先求解fx的定义域并判断奇偶性，然后根据1f的值以及fx在0,上的单调性选择合适图象.【详解】e3xfxx定义域为,00,，e3xfxx，则fxfx，fx为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；e113f，故排除A；∵e3xfxx，当0x时，可得21e3xxfxx，当1x时，0fx，fx单调递增，故排除D.故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝3341xx的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判定.（也可使用赋值法）【详解】由题意，设334()1xfxx，334()()1xfxfxx，所以函数的奇函数，故排除C;当01x时，410,0xfx，当1x时，41,0xfx，排除BD,故选:A.9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数2,10,01xxfxxx，则下列图象错误的是（）A．yfx的图象：B．1yfx的图象：C．yfx的图象：D．yfx的图象：【答案】C【分析】作出函数2,10,01xxfxxx，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答案.【详解】先作出2,10,01xxfxxx的图象，如图所示，所以A正确；对于B，1yfx的图象fx是由的图象向右平移一个单位得到，故B正确；对于C，当0x时，yfx的图象与fx的图象相同，且函数yfx的图象关于y轴对称，故C错误；对于D，yfx的图象与fx的图象关于y轴对称而得到，故D正确.故选：C.10．（2022·全国·高三专题练习（文））下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.A．④①②B．③①②C．②①④D．③②①【答案】A【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的