第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性（原卷版）

第05讲函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性【知识点总结】一、函数奇偶性定义设(),(yfxxDD为关于原点对称的区间），如果对于任意的xD，都有()()fxfx，则称函数()yfx为偶函数；如果对于任意的xD，都有()()fxfx，则称函数()yfx为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()fx是偶函数函数()fx的图象关于y轴对称；函数()fx是奇函数函数()fx的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()yfx在0x处有意义，则有(0)0f；偶函数()yfx必满足()(||)fxfx.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()fx的定义域关于原点对称，则函数()fx能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2gxfxfx，1()[()()]2hxfxfx，则()()()fxgxhx.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()fxgxfxgxfxgxfxgx.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶.（7）复合函数[()]yfgx的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.二、函数的单调性定义一般地，设函数()fx的定义域为D，区间MD，若对于任意的12,xxM，当12xx时，都有12()()fxfx（或12()()fxfx），则称函数()fx在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数()fx的一个增（减）区间.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设12,[,]xxMab且12xx，则1212()()0()fxfxfxxx在[,]ab上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零1212()[()()]0xxfxfx.1212()()0()fxfxfxxx在[,]ab上是减函数1212()[()()]0xxfxfx.性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.若()fx为增函数，且()0(fx或()fx0），则1()fx为减函数.若()fx为减函数，且()0(fx或()fx0），则1()fx为增函数.复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.三、函数的周期性定义设函数()()yfxxD，如存在非零常数T，使得对任何,xDxTD，且()()fxTfx，则函数()fx为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个x，都满足()()fxTfx；若()fx是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.性质若()fx的周期为T，则(,0)nTnZn也是函数()fx的周期，并且有()()fxnTfx.有关函数周期性的重要结论（如表所示）()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(xRfxTfxTfxTfxTfxTfxTTfxfxfxTfxTTfxTfxTTfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxbafbxfbxfa函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()xfaxafxfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxafx为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()yfx有两条对称轴,()xaxbab，则函数()fx是周期函数，且2()Tba；（2）若函数()yfx的图象有两个对称中心(,),(,)()acbcab，则函数()yfx是周期函数，且2()Tba；（3）若函数()yfx有一条对称轴xa和一个对称中心(,0)()bab，则函数()yfx是周期函数，且4()Tba.【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（）A．lnxfxxB．32()fxxxC．()||fxxxD．2()lg1fxxx例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2fxxxx，则下列结论正确的是（）A．递增区间是(0,)B．递减区间是(,1)C．递增区间是(,1)D．递增区间是(1,1)例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2313,11,1axaxfxxx在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．11,63B．11,63C．1,3D．11,,63例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1fx是偶函数，当121xx时，12120fxfxxx恒成立，设1  2af，2bf，3cf，则a，b，c的大小关系为（）A．bacB．cbaC．bcaD．abc例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数2ln1fxaxx是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知(2)yfx为奇函数，且(3)(3)fxfx，当0,1x时，4()2log(1)1xfxx，则（）A．()fx的图象关于(2,0)对称B．()fx的图象关于(2,0)对称C．4(2021)3log3fD．3(2021)2f例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数21axbfxx是定义在1,1上的奇函数，且1225f．（1）确定函数fx的解析式；（2）用定义法证明fx在1,1上是增函数；（3）解关于x的不等式10fxfx．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,0()(3)4,0xaxfxaxax满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0成立，则a的取值范围为（）A．1(0,]4B．(0，1)C．1[,1)4D．(0，3)2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx为R上的偶函数，对任意1x，2(,0)x，均有1212))(((0)xxfxfx成立，若1133(2),3,afbfcfe，则,,abc的大小关系是（）A．cbaB．acbC．abcD．cab3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22fxxx（）A．是奇函数，0,单调递增B．是奇函数，0,单调递减C．是偶函数，0,单调递减D．是偶函数，0,单调递增4．（2022·全国·高三专题练习（理））函数2()2(1)3fxxmx在区间,4上单调递增，则m的取值范围是（）A．3,B．3,C．,5D．,35．（2022·上海·高三专题练习）函数()2020sin2fxxx，若满足2(1)0fxxft恒成立，则实数t的取值范围为（）A．[2,)B．[1,)C．3,4D．(,1]6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx是定义在0,上的增函数，则满足1213fxf的实数x的取值范围（）A．12,33B．12,33C．12,23D．12,237．（2022·全国·高三专题练习）已知减函数332fxxx，若320fmfm，则实数m的取值范围为（）A．,3B．3,C．,3D．3,8．（2022·全国·高三专题练习）设函数3sin1fxxxx，则满足122fxfx的x取值范围是（）A．1,B．,1C．3,D．,39．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式3()2()5fxfxx≤0的解集为（）A．(-∞，-2]∪(0，2]B．[-2，0)∪[2，+∞)C．(-∞，-2]∪[2，+∞)D．[-2，0)∪(0，2]10．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（）A．f3()2f1()4f1()4B．f1()4f1()4f3()2C．f3()2f1()4f1()4D．f1()4f3()2f1()411．（2022·上海宝山·一模）已知函数1()2()2xxfx，则()fx（）A．是奇函数，且在(0,)上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在(0,)上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数12．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知()fx为偶函数，当0x时，1()exfxx，则曲线()yfx在点(1,2)处的切线斜率是（）A．1B．2C．eD．2e113．（2022·全国·高三专题练习）设fx为奇函数，且当0x时，()1xfxe，则当0x时，()fx（）A．e1xB．e1xC．e1xD．1xe14．（2022·全国·高三专题练习）若函数(),0()(2),0xxbxfxaxxx，（a，bR）为奇函数，则()fab的值为（）A．2B．1C．1D．415．（2022·全国·高三专题练习）设函数()fx的定义域为R，(1)fx为奇函数，(2)fx为偶函数，当[1,2]x时，2()fxaxb，若(0)(3)3ff，则13()2f（）A．94B．54C．72D．5216．（2022·全国·高三专题练习）若fx为奇函数，当0x时，2cosfxax，则4π3f（）A．3B．1C．3D．2317．（2022·全国·高三专题练习（文））已知yfx为奇函数，1yfx为偶函数，若当0,1x时，2logfxxa，则2023f（）A．1B．0C．1D．218．（2022·全国·高三专题练习）函数()yfx是R上的奇函数，当0x时，()2xfx，则当0x时，()fx（）A．﹣2xB．2﹣xC．﹣2﹣xD．2x19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx为奇函数，当0x时，2log1fxxax，且3fa，则7f（）A．12B．12C．2log3D．220．（2022·全国·高三专题练习）函数2()axbfxx是定义在(,3][1,)bb上的奇函数．若(2)9f，则ab的值为（）A．6B．5C．4D．321．（2022·全国·高三专题练习）已知fx，gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，