第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性（解析版）

第05讲函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性【知识点总结】一、函数奇偶性定义设(),(yfxxDD为关于原点对称的区间），如果对于任意的xD，都有()()fxfx，则称函数()yfx为偶函数；如果对于任意的xD，都有()()fxfx，则称函数()yfx为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()fx是偶函数函数()fx的图象关于y轴对称；函数()fx是奇函数函数()fx的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()yfx在0x处有意义，则有(0)0f；偶函数()yfx必满足()(||)fxfx.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()fx的定义域关于原点对称，则函数()fx能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2gxfxfx，1()[()()]2hxfxfx，则()()()fxgxhx.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()fxgxfxgxfxgxfxgx.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶.（7）复合函数[()]yfgx的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.二、函数的单调性定义一般地，设函数()fx的定义域为D，区间MD，若对于任意的12,xxM，当12xx时，都有12()()fxfx（或12()()fxfx），则称函数()fx在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数()fx的一个增（减）区间.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设12,[,]xxMab且12xx，则1212()()0()fxfxfxxx在[,]ab上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零1212()[()()]0xxfxfx.1212()()0()fxfxfxxx在[,]ab上是减函数1212()[()()]0xxfxfx.性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.若()fx为增函数，且()0(fx或()fx0），则1()fx为减函数.若()fx为减函数，且()0(fx或()fx0），则1()fx为增函数.复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.三、函数的周期性定义设函数()()yfxxD，如存在非零常数T，使得对任何,xDxTD，且()()fxTfx，则函数()fx为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个x，都满足()()fxTfx；若()fx是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.性质若()fx的周期为T，则(,0)nTnZn也是函数()fx的周期，并且有()()fxnTfx.有关函数周期性的重要结论（如表所示）()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(xRfxTfxTfxTfxTfxTfxTTfxfxfxTfxTTfxTfxTTfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxbafbxfbxfa函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()xfaxafxfaxfaxbafbxfbxfaxfaxafxfaxfaxafx为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()yfx有两条对称轴,()xaxbab，则函数()fx是周期函数，且2()Tba；（2）若函数()yfx的图象有两个对称中心(,),(,)()acbcab，则函数()yfx是周期函数，且2()Tba；（3）若函数()yfx有一条对称轴xa和一个对称中心(,0)()bab，则函数()yfx是周期函数，且4()Tba.【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（）A．lnxfxxB．32()fxxxC．()||fxxxD．2()lg1fxxx【答案】D【详解】对于A，定义域为0,，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；对于B，因为12f，10f，所以fx为非奇非偶函数，故B错误；对于C，因为11f，11f，所以fx不是增函数，故C错误；对于D，定义域为R，因为2221lg1lglg11fxxxxfxxxx，所以fx是奇函数，22()lg1lg1fxxxxx，令21xx为增函数，lgy也是增函数，所以2()lg1fxxx是增函数.故D正确.故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2fxxxx，则下列结论正确的是（）A．递增区间是(0,)B．递减区间是(,1)C．递增区间是(,1)D．递增区间是(1,1)【答案】D【详解】因为函数222,0()22,0xxxfxxxxxxx，作出函数fx的图象，如图所示：由图可知，递增区间是(1,1)，递减区间是(,1)和1,．故选：D．例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2313,11,1axaxfxxx在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．11,63B．11,63C．1,3D．11,,63【答案】B【详解】由题意可知，313yaxa在,1上为减函数，则310a，函数21yx在1,上为减函数，且有3130aa，所以，310610aa，解得1163a.综上所述，实数a的取值范围是11,63.故选：B.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1fx是偶函数，当121xx时，12120fxfxxx恒成立，设1  2af，2bf，3cf，则a，b，c的大小关系为（）A．bacB．cbaC．bcaD．abc【答案】A【详解】当121xx时，2121[()()]()0fxfxxx恒成立，当121xx时，21()()0fxfx，即21()()fxfx，函数()fx在(1,)上为单调增函数，(1)(1)Qfxfx，函数()fx关于1x对称，15()()22aff，又函数()fx在(1,)上为单调增函数，f（2）5()2ff（3），即f（2）1()2ff（3），a，b，c的大小关系为bac．故选：A．例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数2ln1fxaxx是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0【答案】C【详解】因为2ln1fxaxx是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即22ln1ln10axxaxx恒成立，所以22ln110ax，即2210ax恒成立，所以210a，即1a．当1a时，2ln1fxxx，定义域为R，且0fxfx，故符合题意；当1a时，2ln1fxxx，定义域为R，且0fxfx，故符合题意；故选：C.（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知(2)yfx为奇函数，且(3)(3)fxfx，当0,1x时，4()2log(1)1xfxx，则（）A．()fx的图象关于(2,0)对称B．()fx的图象关于(2,0)对称C．4(2021)3log3fD．3(2021)2f【答案】ABD【详解】因为(2)fx为奇函数，所以(2)(2)fxfx即(2)(2)fxfx，所以()fx的图象关于(2,0)对称．故选项B正确，由(2)(2)fxfx可得(4)()fxfx，由(3)(3)fxfx可得()(6)fxfx，所以(4)(6)fxfx，可得(2)()fxfx，所以(4)(2)()fxfxfx，所以()fx周期为4，所以()fx的图象关于(2,0)对称，故选项A正确，43(2021)(45051)(1)2log212fff.故选项D正确，选项C不正确.故选:ABD．例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数21axbfxx是定义在1,1上的奇函数，且1225f．（1）确定函数fx的解析式；（2）用定义法证明fx在1,1上是增函数；（3）解关于x的不等式10fxfx．【解析】（1）由题意，函数21axbfxx是定义在1,1上的奇函数，可得00f，即0fxb，可得0b，即21axfxx，又由1225f，可得2122151()2a，解得1a，所以21xfxx，经验证，此时满足fxfx，所以函数fx为奇函数.所以函数fx的解析式为21xfxx，（2）解：设12,(1,1)xx且12xx，则1212121222221212()(1)11(1)(1)xxxxxxfxfxxxxx，因为12,(1,1)xx且12xx，可得221212120,10,10,10xxxxxx，所以120fxfx，即12fxfx，所以函数fx在区间(1,1)上是增函数.（3）因为函数fx是定义在1,1上的奇函数，则不等式10fxfx可化为1fxfxfx，又因为函数fx在区间(1,1)上是增函数，可得111111xxxx，解得102x，即不等式的解集为1(0,)2【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,0()(3)4,0xaxfxaxax满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0成立，则a的取值范围为（）A．1(0,]4B．(0，1)C．1[,1)4D．(0，3)【答案】A【分析】根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.【详解】因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0成立，不妨令x1x2，则f(x1)f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数xya在(,0)上是减函数，有01a，函数(3)4yaxa在[0,)上是减函数，有30a，即3a，并且满足：0(0)af，即41a，解和14a，综上得104a，所以a的取值范围为1(0,