第6讲 指对幂函数（解析版）

第06讲指对幂函数【知识点总结】一、指数的运算性质当a0，b0时，有(1)aman=am+n(m,nR)；(2)mmnnaaa(m,nR)(3)(am)n=amn(m,nR)；(4)(ab)m=ambm(mR)；(5)1ppaa(pQ)(6)mnmnaa(m,nN+)二、指数函数(1)一般地，形如y=ax(a0且a1)的函数叫做指数函数；(2)指数函数y=ax(a0且a1)的图像和性质如表2-6所示.y=axa10a1图象(1)定义域：R(1)定义域：R值域(2)值域：(0,+)(2)值域：(0,+)(3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1)(4)在R上是增函数.(4)在R上是减函数.(5)0y1x0y=1x=0y1x0(5)0y1x0y=1x=0y1x0三、对数概念(0)log(01)xaaNNnNaa且，叫做以a为底N的对数.注：①0N，负数和零没有对数；②log10,log1aaa；③10lglog,lnlogeNNNN.四、对数的运算性质(1)log()loglog(,);(2)logloglog(,);(3)loglog();log(4)log(01,0,01)logaaaaaanaacacMNMNMNRMMNMNRNMnMMRbbaabcca且且（换底公式）特殊地1log(,01,1)logabbababa且；log(5)loglog(,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log(,01).manaaNNanbbabmanRmaNNaaaNNRaa；且；且五、对数函数（1）一般地，形如log(01)ayxaa且的函数叫对数函数.（2）对数函数log(01)ayxaa且的图像和性质，如表2-7所示.logayx1a1a图像性质（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）图像过定点：(1,0)（4）在(0,)上是增函数（1）定义域：(0,)（2）值域：R（3）图像过定点：(1,0)（4）在(0,)上是减函数六、幂函数的定义一般地，函数()yxR叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量x.七、幂函数的图像幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点.当11,2,3,,12时，在同一坐标系内的函数图像如图所示.八、幂函数的性质当0时，幂函数yx在(0,)上是增函数，当1时，函数图像是向下凸的；当01时，图像是向上凸的，恒过点(0,0)(1,1)和；当0时，幂函数yx在(0,)上是减函数.幂函数yx的图像恒过点(1,1).【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2log(2),1()e,1xxxfxx则(2)(ln4)ff（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【详解】22log42f，ln4ln44fe，故(2)(ln4)6ff，故选：C.例2．（2022·全国·高三专题练习）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（）．A．log32B．1C．log23D．2【答案】C【详解】方程4x－2x＋1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x0，∴2x＝3，∴x＝log23.故选：C例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数xfxab（0a且1a），其中a，b均为实数.（1）若函数fx的图象经过点0,2A，1,3B，求函数fx的解析式；（2）如果函数fx的定义域和值域都是1,0，求ab的值.（1）因为函数fx的图象经过点0,2A，1,3B，∴123bab，∴2,1,ab∴函数21xfx.（2）如果函数fx的定义域和值域都是1,0，若1a，则函数xfxab为增函数，∴1110bab，无解.若01a，则函数xfxab为减函数，∴1011bab，解得122ab，∴32ab.例4．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369；（2）若11226xx，求22xx的值．【详解】（1）120.75013110.027()81()3690.3﹣1﹣36+33+11103336+27+1135．（2）若11226xx，∴x1x2＝6，x1x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．例5．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）3lg1log233536loglog32145；（2）2lg2lg5lg2lg5ln1；.（3）23722ln2log7log81ln2log2log8e；．（4）2log33718182log7log9log6log3.【详解】（1）3lg1log233536loglog3214503log92(21)2211；（2）2lg2lg5lg2lg5ln1lg2lg5lg2lg50lg2lg51；（3）23722ln2log7log81ln2log2log8e13422222ln7ln3ln2lnln2log2log2ln3ln7e13ln224ln2422；（4）2log33718182log7log9log6log3218lg7lg33log633212lg3lg7例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxfx.（1）判断()fx在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式2(log)(1)fxf.【详解】（1）1()22(2)()2xxxxfxfx，则函数()fx是奇函数，则当0x…时，设120xx„，则2112121212121122()()22222222xxxxxxxxxxfxfx121212221(22)22xxxxxx，120xx„，12122xx„，即12220xx，12221xx，则12())0(fxfx，即12()()fxfx，则()fx在[0，)上是增函数，()fx是R上的奇函数，()fx在R上是增函数.（2）()fx在R上是增函数，不等式2(log)(1)fxf等价为不等式2log1x，即02x.即不等式的解集为(0,2).例7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()fxx，1()2xgxm（1）当[1,3]x时，求()fx的值域；（2）若对0,2x，()1gx…成立，求实数m的取值范围；（3）若对10,2x，2[1,3]x，使得12()()gxfx„成立，求实数m的取值范围．【详解】（1）当[1,3]x时，函数2()[0fxx，9]()fx的值域0,9（2）对0,2x，()1gx…成立，等价于()gx在0,2的最小值大于或等于1．而()gx在0,2上单调递减，所以2112m…，即34m„（3）对10,2x，2[1,3]x，使得12()()gxfx„成立，等价于()gx在0,2的最大值小于或等于()fx在[1,3]上的最大值9由19m„，8m…例8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx是定义在实数R上的偶函数，且(1)(1)fxfx，当[0,1]x时，()1fxx，函数5()log||gxx．（1）判断函数5()log||gxx的奇偶性；（2）证明：对任意xR，都有(2)()fxfx；（3）在同一坐标系中作出()fx与()gx的大致图象并判断其交点的个数．【详解】（1）判断结论：()gx为偶函数．以下证明．证明：5()log||gxx，0x．对于任意的(x，0)(0，)，55()log||)log||()gxxxgx，函数()gx为偶函数；（2）函数()fx是定义在实数R上的偶函数，()()fxfx，(1)(1)fxfx，(2)[1(1)][1(1)]()()fxfxfxfxfx．故原命题得证．（3）5()log||gxx，()ygx的图象过点(1,0)，(5,1)，关于y轴对称，如图可知：()fx与()gx大致有8个交点．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx和(2)fx都是定义在R上的偶函数，当[0,2]x时，()2xfx，则20212f（）A．2B．22C．322D．2【答案】B【分析】根据(2)fx是定义在R上的偶函数，得到()(4)fxfx，同时结合条件()fx为偶函数，可得到函数的周期4T，从而2021(1.5)2ff，代入即可求值.【详解】因为(2)fx是定义在R上的偶函数，所以(2)(2)fxfx，即()(4)fxfx，又()fx为定义在R上的为偶函数，所以()()fxfx，所以()(4)fxfx，所以函数的周期4T，所以20212f20212f333(4253)()()22222fff.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）化简2112333324()3abab的结果为（）A．－23abB．－8abC．－6abD．－6ab【答案】C【分析】根据指数幂的运算可得结果.【详解】原式＝2112()13333666aababb.故选：C.3．（2022·浙江·高三专题练习）已知1241,1()3log,1xxfxxx，则1(2)ff（）A．1B．2C．3D．15【答案】A【分析】根据分段函数的定义，先求内层函数的值(2)f，然后再求外层函数1(2)ff的值.【详解】解：因为1241,1()3log,1xxfxxx，所以12(2)3log2312f，所以1211411(2)2fff，故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）若233xyaaa是指数函数，则有（）A．1a或2B．1aC．2aD．0a且1a【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为233xyaaa是指数函数，所以233101aaaa，解得2a.故选：C．5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知2,,0,21,0,xxfxfxx，则2log3f（）A．916B．34C．32D．3【答案】D【分析】根据函数性质，代入自变量，结合指对数运算求得结果.【详解】23log422233log32log4log42324fff，故选：D．6．（2022·浙江·高三专题练习）函数()(0xfxaa，且a≠1)的图象经过点13,27P，则f(-2)=（）A．19B．33C．13D．9【答案】D【分析】把P点坐标代入解析式可得a可得答案.【详解】由3127a，解得13a，所以