第09讲 导数的运算及切线方程（原卷版）

第09讲导数的运算及切线方程【知识点总结】一、基本概念1、导数的概念设函数xfy在0xx附近有定义，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数xfy在处的导数，记作0xf或.0xxy即.0000000limlimlim0xxxfxfxxfxxfxyxfxxxx2、导数的几何意义函数xfy在0x处的导数0xf，表示曲线xfy在点00,xfxP处的切线PT的斜率，即0tanxf，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点P的切线方程为.000xxxfyy3、导数的物理意义:设0t时刻一车从某点出发，在t时刻车走了一定的距离.tSS在10~tt时刻，车走了,01tStS这一段时间里车的平均速度为,0101tttStS当1t与0t很接近时，该平均速度近似于0t时刻的瞬时速度.若令~1t0t，则可以认为101010limttStSttt，即0tS就是0t时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式如表xfyxfycy0yNxxyn1nnxy，n为正整数Qxxy且0,0,1xy为有理数1,0aaayx且aayxln0xx0.10logxaaxya且axyln1xysinxycosxycosxysin注：21111,,ln.2xxxxxx三、导数的运算法则（和、差、积、商）设,uuxvvx均可导，则（1）;uvuv（2）;kukukR（3）;uvuvuv（4）20.uuvuvvvv注：.cfxcfxcR四、复合函数的导数复合函数yfgx的导数与函数,yfuugx的导数之间具有关系xuxyyu，该关系用语言表述就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”，也就是先把gx当作一个整体，把yfgx对gx求导，再把gx对x求导，这两者的乘积就是复合函数yfgx对x的导数，即fgxfgxgx.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数2ln21fxxxx，则曲线yfx在点1,1f处的切线方程为（）A．210xyB．20xyC．0xyD．240xy例2．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知()fx为偶函数，当0x时，1()exfxx，则曲线()yfx在点(1,2)处的切线斜率是（）A．1B．2C．eD．2e1例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2ln8fxxx，则0121limxfxfx的值为（）A．20B．10C．10D．20例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数21()ln2fxxx，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方程为___________.例5．（2022·全国·高三专题练习）若直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，则切点坐标为____．例6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数2()()sincos24fxfxx，则曲线yfx在点0,0f处的切线方程是_______________________．例7．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．（1）sinxye；（2）32xyx；（3）ln23yx；（4）2221yxx；（5）cos23yx．例8．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线3:2Syxx.（1）求曲线S在点1,1A处的切线方程；（2）求过点2,0B并与曲线S相切的直线方程.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为252sttt，则该物体在运动前2秒的平均速度为（）A．18米/秒B．13米/秒C．9米/秒D．132米/秒2．（2022·全国·高三专题练习）函数()fx的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）A．0(2)(3)(3)(2)ffffB．0(3)(3)(2)(2)ffffC．0(3)(2)(3)(2)ffffD．0(3)(2)(2)(3)ffff3．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数fx可导，则Δ0(1Δ)(1)lim2Δxfxfx等于（）A．21fB．112fC．112fD．12f4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数4fxxax，若02lim=12xfxfxx△△△△，则a（）A．36B．12C．4D．25．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数fx的图象如下所示，fx为fx的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（）A．12fxfxB．12fxfxC．120fxfxD．120fxfx6．（2022·浙江·高三专题练习）若函数fx满足24f，则022limhfhfh（）A．8B．8C．4D．47．（2022·全国·高三专题练习（理））函数432fxxx的图像在点1x处的切线方程为（）A．21yxB．21yxC．21yxD．21yx8．（2022·全国·高三专题练习）若曲线e(0)exxaya上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[32，)，则a=（）A．112B．13C．34D．39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()xfxaex的图象在点(0,)a处的切线过点(2,5)，则a（）A．1B．2C．1D．210．（2022·全国·高三专题练习）设函数2fxgxx，曲线ygx在点()()1,1g处的切线方程为21yx，则曲线yfx在点1,1f处的切线的斜率为（）A．4B．14C．2D．1211．（2022·全国·高三专题练习）曲线1fxx在点P处的切线的倾斜角为3π4，则点P的坐标为（）A．1,1B．1,1C．1,22D．1,1或1,112．（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线2lnfxxx上任意一点，则点P到直线2yx的最小值为（）A．1B．2C．22D．313．（2022·全国·高三专题练习（文））曲线yfx在1x处的切线如图所示，则11ff（）A．0B．2C．2D．114．（2022·全国·高三专题练习（文））直线3ykx与曲线lnfxaxb相切于点1,2P，则2ab=（）A．4B．3C．2D．115．（2022·全国·高三专题练习（文））直线1ykx是曲线1lnyx的一条切线，则实数k的值为（）A．eB．2eC．1D．1e16．（2022·全国·高三专题练习）动点P，Q分别在函数()xfxex，()22gxx的图象上运动，则PQ的最小值为（）A．2B．524C．355D．517．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线xfxe在点0,0Pf处的切线也是曲线lngxax的一条切线，则a的值为（）A．3eB．2eC．2eD．33e18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2xfxaex的图象在点1,1Mf处的切线方程是22yexb，那么ab（）A．2B．1C．1D．219．（2022·全国·高三专题练习）设曲线 xfxaeb和曲线cos2xgxc在它们的公共点0,2M处有相同的切线，则bca的值为（）A．0B．C．2D．320．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在区间0,上的函数22fxxm，3lngxxx，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）A．2B．5C．1D．021．（2022·全国·高三专题练习（理））设P为曲线2:23Cyxx上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为0,4，则点P横坐标的取值范围为A．11,2B．1,0C．[]0,1D．1,1222．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx的导函数为fx，且满足2lnfxxfex，则fe（）A．eB．1C．1eD．e23．（2022·全国·高三专题练习）设0sinfxx，10fxfx，21fxfx，…，1nnfxfx，nN，则2020fx（）A．sinxB．sinxC．cosxD．cosx24．（2022·全国·高三专题练习）设22fxxa，且28f，则常数a的值为（）A．0B．2C．1D．2二、多选题25．（2022·全国·高三专题练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度c（单位：mg/mL）随时间t（单位：h）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（）A．在1t时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B．在2t时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同C．在23,tt这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同D．在12,tt，23,tt两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同26．（2022·全国·高三专题练习）若直线12yxb是函数()fx图像的一条切线，则函数()fx可以是（）A．1()fxxB．4()fxxC．()sinfxxD．()xfxe27．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数求导运算错误的是（）A．333logexxB．eexxC．1lnxxD．e31xxx三、填空题28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2fxax在区间1,2上的平均变化率为3，则fx在区间2,1上的平均变化率为______．29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221yfxx在0xx处的瞬时变化率为8，则0fx______．30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数21()ln2fxxxx，则()fx所有的切线中斜率最小的切线方程为_________.31．（2022·全国·高三专题练习）曲线lnyxx的一条切线过点(0,3)，则该切线的斜率为_______．32．（2022·浙江·高三专题练习）曲线332yxx上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是________．33．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数2esinxfxxxx，则曲线yfx在点0,0f处的切线方程是______．34．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为__________35．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数lnfxxx，若直线l过点0,1，并且与曲线yfx相切，