第09讲 导数的运算及切线方程（解析版）

第09讲导数的运算及切线方程【知识点总结】一、基本概念1、导数的概念设函数xfy在0xx附近有定义，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数xfy在处的导数，记作0xf或.0xxy即.0000000limlimlim0xxxfxfxxfxxfxyxfxxxx2、导数的几何意义函数xfy在0x处的导数0xf，表示曲线xfy在点00,xfxP处的切线PT的斜率，即0tanxf，其中为切线的倾斜角，如图所示，过点P的切线方程为.000xxxfyy3、导数的物理意义:设0t时刻一车从某点出发，在t时刻车走了一定的距离.tSS在10~tt时刻，车走了,01tStS这一段时间里车的平均速度为,0101tttStS当1t与0t很接近时，该平均速度近似于0t时刻的瞬时速度.若令~1t0t，则可以认为101010limttStSttt，即0tS就是0t时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式如表xfyxfycy0yNxxyn1nnxy，n为正整数Qxxy且0,0,1xy为有理数1,0aaayx且aayxln0xx0.10logxaaxya且axyln1xysinxycosxycosxysin注：21111,,ln.2xxxxxx三、导数的运算法则（和、差、积、商）设,uuxvvx均可导，则（1）;uvuv（2）;kukukR（3）;uvuvuv（4）20.uuvuvvvv注：.cfxcfxcR四、复合函数的导数复合函数yfgx的导数与函数,yfuugx的导数之间具有关系xuxyyu，该关系用语言表述就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”，也就是先把gx当作一个整体，把yfgx对gx求导，再把gx对x求导，这两者的乘积就是复合函数yfgx对x的导数，即fgxfgxgx.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数2ln21fxxxx，则曲线yfx在点1,1f处的切线方程为（）A．210xyB．20xyC．0xyD．240xy【答案】C【详解】解：∵2ln21fxxxx的导数为2ln2fxxxx，∴1121f．∵11f，∴曲线yfx在点1,1f处的切线方程为11yx，即0xy．故选：C．例2．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知()fx为偶函数，当0x时，1()exfxx，则曲线()yfx在点(1,2)处的切线斜率是（）A．1B．2C．eD．2e1【答案】B【详解】设0x，则0x，1()exfxx，又()fx为偶函数，∴1()exfxx，则对应导函数为1()e1xfx，∴(1)2f，即所求的切线斜率为2.故选：B例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2ln8fxxx，则0121limxfxfx的值为（）A．20B．10C．10D．20【答案】D【详解】因为2ln8fxxx，所以28fxx，所以020121121lim2lim21202xxfxffxffxx.故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数21()ln2fxxx，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方程为___________.【答案】4x﹣2y﹣3=0【详解】解：由21()ln2fxxx，得'1()(0)fxxxx，由1122xxxx，当且仅当x=1时等号成立，∴x=1满足题意，此时'(1)2f，又1(1)2f，∴所求切线方程为12(1)2yx，即4x﹣2y﹣3=0.故答案为：4x﹣2y﹣3=0.例5．（2022·全国·高三专题练习）若直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，则切点坐标为____．【答案】（12，e）【详解】设切点的坐标为（m，n），y＝e2x的导数为y′＝2e2x，由切线方程y＝kx，可得2e2m＝k，n＝km＝e2m，k＞0，解得m12，n＝e，即切点的坐标为（12，e）．故答案为：（12，e）．例6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数2()()sincos24fxfxx，则曲线yfx在点0,0f处的切线方程是_______________________．【答案】10xy【详解】由题意得2cossin24fxfxx，将4x与0x分别代入，得22242422ff，2024ff，解得24f，01f，而01f，所以所求切线方程是()10yx-=--，即10xy．故答案为：10xy例7．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．（1）sinxye；（2）32xyx；（3）ln23yx；（4）2221yxx；（5）cos23yx．【详解】（1）因为sinxye，则sinsinsincosxxyexex；（2）因为32xyx，则223223122xxxxyxx；（3）因为ln23yx，则22213233yxxx；（4）因为2221yxx，则''22221221yxxxx2222122624xxxxx；（5）因为cos23yx，故2sin22sin2333yxxx.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线3:2Syxx.（1）求曲线S在点1,1A处的切线方程；（2）求过点2,0B并与曲线S相切的直线方程.【详解】（1）∵32yxx，则232yx，∴当1x时，1y，∴点1,1A处的切线方程为：111yx，即20xy.（2）设切点坐标为3),2(mmm，则直线斜率322mmkm，而223ym，整理得：32320mm∴322(210)mmm，则212110mmmm，即有2122(0)mmm，解得1231,13,13mmm，当1m时：2231km，直线方程为22yxx；当13m时，2231063km，直线方程为(1063)(2)yx；当13m时，2231063km，直线方程为(1063)(2)yx.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离s（米）与时间t（秒）的关系为252sttt，则该物体在运动前2秒的平均速度为（）A．18米/秒B．13米/秒C．9米/秒D．132米/秒【答案】C【分析】利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前2秒的平均速度为202ss，进而可求得结果.【详解】∵252sttt，∴该物体在运动前2秒的平均速度为2018922ss（米/秒）．故选：C．2．（2022·全国·高三专题练习）函数()fx的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）A．0(2)(3)(3)(2)ffffB．0(3)(3)(2)(2)ffffC．0(3)(2)(3)(2)ffffD．0(3)(2)(2)(3)ffff【答案】B【分析】利用导数几何意义和过两点的直线的斜率公式，结合图象即得结果.【详解】如图所示，(2)f是函数()fx的图象在2x（即点A）处切线的斜率1k，(3)f是函数()fx的图象在3x（即点B）处切线的斜率2k，(3)(2)(3)(2)32ABffffk是割线AB的斜率．由图象知,210ABkkk，即0(3)(3)(2)(2)ffff．故选:B．3．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数fx可导，则Δ0(1Δ)(1)lim2Δxfxfx等于（）A．21fB．112fC．112fD．12f【答案】C【分析】根据导函数的定义得011(1)lim=xfxffx，根据00Δ(1Δ)(1)l2im2Δ1(1)1=limxxfxxxfxff，即可求出结果.【详解】001(1)(1)(1)11l1im=lim=222xxfxffxfxxf．故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数4fxxax，若02lim=12xfxfxx△△△△，则a（）A．36B．12C．4D．2【答案】C【分析】根据函数fx在0x处的导数的定义将02limxfxfxx△△△△变形为023lim303xfxfxfx△△△△即可求解.【详解】解：根据题意，4fxxax，则34fxxa，则0fa，若02lim=12xfxfxx△△△△，则0022lim=3lim30123xxfxfxfxfxfxx△△△△△△△△，则有312a，即4a，故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数fx的图象如下所示，fx为fx的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（）A．12fxfxB．12fxfxC．120fxfxD．120fxfx【答案】B【分析】利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断1()fx与2()fx、1()fx与2()fx，及其与0的大小关系.【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知：12()()0fxfx，而12()0()fxfx，故选：B.6．（2022·浙江·高三专题练习）若函数fx满足24f，则022limhfhfh（）A．8B．8C．4D．4【答案】D【分析】根据导数的定义可直接化简求得结果.【详解】002222lim1lim24hhfhffhffhh.故选：D.【点睛】本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题.7．（2022·全国·高三专题练习（理））函数432fxxx的图像在点1x处的切线方程为（）A．21yxB．21yxC．21yxD．21yx【答案】B【分析】求导，计算1,(1)fkf，即得解【详解】432fxxx，3246fxxx，11f，12f，因此，所求切线的方程为121yx，即21yx