第11讲 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（原卷版）

第11讲导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题【知识点总结】一、证明不等式常用的方法和思路作差构造函数，转化为最值问题二、不等式恒成立问题常用的方法和思路(1)直接法(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；三、零点问题常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设函数222lnxfxxxeaexex，其中e为自然对数的底数，曲线yfx在22f,处切线的倾斜角的正切值为2322ee．（1）求a的值；（2）证明：0fx．例2．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x的函数ln1ln2.fxaxx（1）讨论fx的单调性；（2）证明：当*nN时，2ln123ln2.nnn例3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数3222fxxxx.（1）求函数fx的极值；（2）若对任意的2,13x都有fxc成立，求c的取值范围.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1xfxeax.（1）当2a时，求曲线在1,1f处的切线方程；（2）若2gxfxx，且gx在0,上的最小值为0，求a的取值范围.例5．（2021·北京市第八中学怡海分校高三阶段练习）已知函数3239fxxxxm（mR）（1）求fx在11f，处的切线方程；（2）当fx有3个零点时，求m的取值范围．例6．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（理））已知函数()lnfxaxxaR.（1）若2a，求曲线()yfx在1x处切线的方程；（2）求()fx的单调区间；（3）设2()22gxxx，若对任意10,x，均存在20,1x，使得12fxgx，求a的取值范围.例7．（2020·四川省内江市第六中学高三阶段练习（理））已知aR，函数32112,2ln62fxxaxbgxax.（1）若曲线yfx与曲线()ygx=在它们的交点1,c处的切线互相垂直,求,ab的值；（2）设'Fxfxgx,若对任意的12,0,xx,且12xx,都有1212FxFxaxx，求a的取值范围．【技能提升训练】1．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））已知函数lnfxxbax在1x处的极值为2，其中0a．（1）求a，b的值；（2）对任意的1,x，证明恒有2221xfxxx．2．（2021·新疆师范大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数ln1xfxx，21agxxx，曲线yfx与曲线ygx在1x处的切线互相平行．（1）求a的值；（2）求证：fxgx在0,上恒成立．3．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数2()lnfxxxax.（1）若函数()fx在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）若0a且)1(0x，，求证：23[1()](1)xxxfxxxe.4．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知()lnfxxax，aR．（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）若1a，证明：()1fx．5．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三阶段练习（理））已知函数()lnfxaxx（a是常数）.（1）当2a时，求()fx的单调区间与极值；（2）若0,()0xfx，求a的取值范围；6．（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数32fxxaxbxc在23x与1x处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对任意1,2x，不等式2fxc恒成立，求实数c的取值范围．7．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数211ln2fxaxaxx.（1）当2a时，求函数fx的单调区间；（2）当1a时，证明：1x时，当11112fxaxax恒成立.8．（2019·山西省平遥中学校高三阶段练习（理））已知lnfxxx.（1）求fx的单调区间；（2）若存在x使fxm成立，求实数m的取值范围.9．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））已知函数3211()2()32fxxaxxaR在2x处取得极值.（1）求()fx在[2,1]上的最小值；（2）若函数()()()gxfxbbR有且只有一个零点，求b的取值范围.10．（2021·安徽安庆·一模（理））函数()2xfxeaxa.（1）讨论函数的极值；（2）当0a时，求函数fx的零点个数.11．（2019·山东日照·高三期中（理））已知函数2ln,22rxxxaxgxaxx．(1)证明：当11,arxgxx时，对恒成立；(2)若函数22rxfxaxax恰有一个零点，求实数a的取值范围．12．（2020·江西·南昌市第三中学高三阶段练习）已知函数lnfxxx，21112gxkxkx，曲线yfx与曲线ygx在1x处的切线互相垂直，记Fxfxgx.（1）求实数k的值；（2）若方程()fxm有两个不相等实根，求m的取值范围；（3）讨论函数Fx的单调性.13．（2020·全国·高三专题练习（文））已知函数32()fxaxbx在点(1,(1))f处的切线方程为310xy.（1）求实数a，b的值；（2）若过点(1,)(4)mm可做曲线()yfx的三条切线，求实数m的取值范围.14．（2021·陕西·西安一中高三期中（文））已知函数1lnfxxaxx.（1）若fx在0,上为单调函数，求实数a的取值范围；（2）记fx的两个极值点为1x，2x，求证：12122fxfxxx.15．（2022·全国·高三专题练习（文））证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．16．（2021·全国·高三专题练习）已知函数ln1afxxaRx.若函数yfx在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.17．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数lnfxxax（a是正常数）.（1）当2a时，求fx的单调区间与极值；（2）若0x，0fx，求a的取值范围；18．（2021·福建省龙岩第一中学高三期中）已知函数ln1lnfxaxax的图像在点1,1f处的切线方程为4yxb.（1）求a，b的值；（2）当4k时，证明：1fxkx对1,x恒成立.