第13讲 基本不等式（原卷版）

第13讲基本不等式【知识点总结】1.几个重要的不等式（1）20,00,0.aaRaaaaR（2）基本不等式：如果,abR，则2abab(当且仅当“ab”时取“”).特例：10,2;2(,abaaababa同号）.（3）其他变形：①2222abab(沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式)②222abab(沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式)③22abab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)④重要不等式串：222,1122ababababRab即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知,xyR.（1）如果xyS(定值)，则2224xySxy(当且仅当“xy”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xyP(定值)，则22xyxyP(当且仅当“xy”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.【典型例题】例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）A．(0,0)2abababB．222(0,0)abababC．2(0,0)ababababD．22(0,0)22ababab例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数,xy满足221xyxy，则xy的取值范围是（）A．2323,33B．2323,33C．2222,33D．2222,33例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（）A．5B．6C．7D．8例4．（2022·全国·高三专题练习）若x，Ry，221xy，则xy的取值范围是（）A．(，2]B．(0,1)C．(，0]D．(1,)例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点,Pab在直线23xy上，则24ab的最小值为（）A．2B．22C．42D．4例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知0x，0y，且420xyxy，则2xy的最小值为（）A．16B．842C．12D．642例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足326ab，则23ab的最小值为（）A．2B．22C．4D．32例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知097xyxyxy，，，则3xy的最大值为（）A．1B．2C．3D．4例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知a、0,b，若14abab恒成立，则实数的取值范围为（）A．5,B．9,C．,5D．,9【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数()4(0,0)afxxxax在3x时取得最小值，则a等于（）A．6B．8C．16D．362．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（）A．如果,abbc，那么ac；B．如果0ab，那么22ab；C．对任意实数a和b，有222abab，当且仅当ab时等号成立；D．如果ab，0c，那么acbc．3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（）A．21lglg4xx(0)xB．1sin2sinxx(,)xkkZC．212xx()xRD．2111x()xR4．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1xxyxx的最大值为（）A．3B．2C．1D．-15．（2022·全国·高三专题练习）若72x…，则2610()3xxfxx有（）A．最大值52B．最小值52C．最大值2D．最小值26．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式21xym2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥87．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数,xy满足1xy，则1912xy的最小值是（）A．3B．4C．10D．168．（2022·全国·高三专题练习）设,xy均为正实数，且33122xy，则xy的最小值为（）A．8B．16C．9D．69．（2022·全国·高三专题练习）若正数,xy满足220xyxy，则2xy的最小值为（）A．9B．8C．5D．410．（2022·全国·高三专题练习）若对满足8abab的任意正数ab，及任意xR，不等式22218abxxm恒成立，则实数m的取值范围是（）A．6,B．,6C．,1D．1,11．（2022·全国·高三专题练习）设m，n为正数，且2mn，则1112mn的最小值为（）A．32B．53C．74D．45二、多选题12．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a，0b，且222ab，则下列不等式中一定成立的是（）A．1abB．112abC．lglg1abD．2ab三、填空题13．（2022·浙江·高三专题练习）若a0，b0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.①114ab；②111ab；③ab≥2；④a2＋b2≥8.14．（2022·全国·高三专题练习）若102a，则12aa的最大值是_______15．（2022·全国·高三专题练习）若正数,xy满足2249330xyxy，则xy的最大值是________．16．（2022·全国·高三专题练习）函数31xya（0a且1a）的图象恒过定点A，若点A在直线10mxny上，其中0m，0n，则mn的最大值为___________.17．（2022·全国·高三专题练习）当1x时，41xx的最小值为______．18．（2022·全国·高三专题练习）已知x，0y，且满足2xy，则14xyxy的最小值为_________19．（2022·全国·高三专题练习）已知0x，0y，且280xyxy，则xy的最小值为______．20．（2022·全国·高三专题练习）已知,abR，且210ab，则124ab的最小值为___________.21．（2022·上海·高三专题练习）若0,0ab，则21abab的最小值为____________．22．（2022·全国·高三专题练习）已知23601xxfxxx，则fx的最小值是________．23．（2022·全国·高三专题练习）设x，y，z为正实数，满足20xyz，则2yxz的最小值是__________．24．（2022·全国·高三专题练习）函数2221xxyx的值域是_______．25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数,xy满足2241xyxy，则2xy的最大值为___________.26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知4AB，3AD，那么当BM_______时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为______.