第13讲 基本不等式（解析版）

第13讲基本不等式【知识点总结】1.几个重要的不等式（1）20,00,0.aaRaaaaR（2）基本不等式：如果,abR，则2abab(当且仅当“ab”时取“”).特例：10,2;2(,abaaababa同号）.（3）其他变形：①2222abab(沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式)②222abab(沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式)③22abab(沟通两积ab与两和ab的不等关系式)④重要不等式串：222,1122ababababRab即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).2.均值定理已知,xyR.（1）如果xyS(定值)，则2224xySxy(当且仅当“xy”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xyP(定值)，则22xyxyP(当且仅当“xy”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.【典型例题】例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）A．(0,0)2abababB．222(0,0)abababC．2(0,0)ababababD．22(0,0)22ababab【答案】D【详解】设,ACaBCb，可得圆O的半径为122abrOFAB，又由22ababOCOBBCb，在直角OCF△中，可得2222222()()222abababFCOCOF，因为FOFC，所以2222abab，当且仅当ab时取等号．故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数,xy满足221xyxy，则xy的取值范围是（）A．2323,33B．2323,33C．2222,33D．2222,33【答案】A【详解】解：2221()1xyxyxyxy，又2()2xyxy„，22()1()2xyxy„，令xyt，则2244tt„，232333t剟，即232333xy剟，当且仅当xy时，取等号，xy的取值范围是23[3，23]3．故选：A．例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【详解】由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝44ab，代入得a＋b＋c＝a＋b＋44ab＝4()aa＋4()bb≥24aa＋24bb＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b＋c的最小值为8.故选：D例4．（2022·全国·高三专题练习）若x，Ry，221xy，则xy的取值范围是（）A．(，2]B．(0,1)C．(，0]D．(1,)【答案】A【详解】因为12222222xyxyxy…，所以124xy„，即2xy„，当且仅当1222xy，即1xy时取“”，所以xy的取值范围是(，2].故选：A.例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点,Pab在直线23xy上，则24ab的最小值为（）A．2B．22C．42D．4【答案】C【详解】∵点,Pab在直线23xy上，∴23ab，所以+2242242abab当且仅当2ab时，等号成立故选：C.例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知0x，0y，且420xyxy，则2xy的最小值为（）A．16B．842C．12D．642【答案】A【详解】由题可知241xy，乘“1”得2482822(2)82816xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当82xyyx时，取等号，则2xy的最小值为16.故选：A例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足326ab，则23ab的最小值为（）A．2B．22C．4D．32【答案】C【详解】由326ab，可得123ab，232323232224233232abbabaabababab，当且仅当2332baab且326ab，即31,2ab时等号成立．故选：C．例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知097xyxyxy，，，则3xy的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】解：因为097xyxyxy，，，所以79296xyxyxyxy，即670xyxy，则(7)(1)0xyxy，所以71xy，又,0xy，所以01xy，所以3xy最大为3.故选：C.例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知a、0,b，若14abab恒成立，则实数的取值范围为（）A．5,B．9,C．,5D．,9【答案】D【详解】因为a、0,b，由已知可得14abab，因为14445259babaabababab，当且仅当2ba时等号成立，故实数的取值范围为,9，故选：D．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数()4(0,0)afxxxax在3x时取得最小值，则a等于（）A．6B．8C．16D．36【答案】D【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可【详解】因为()4(0,0)afxxxax，故4244aaxxaxx，当且仅当4axx，即2ax时取等号，故3,362aa故选：D【点睛】均值不等式2abab：一正：0,0ab，二定：ab为定值，三相等：当且仅当ab时等号成立2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（）A．如果,abbc，那么ac；B．如果0ab，那么22ab；C．对任意实数a和b，有222abab，当且仅当ab时等号成立；D．如果ab，0c，那么acbc．【答案】C【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为,ab，则斜边长为22ab，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为,ab，则斜边长为22ab.图中四个直角三角形的面积和为1422abab，外围正方形的面积为22222abab.由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以222abab，当且仅当ab时，等号成立.故选：C.3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（）A．21lglg4xx(0)xB．1sin2sinxx(,)xkkZC．212xx()xRD．2111x()xR【答案】C【分析】应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有2212(||1)0xxx，即可确定C的正误.【详解】A：当12x时，有21lglg4xx，故不等式不一定成立；B：当sin1x，即322xkkZ时，有1sin22sinxx，故不等式不一定成立；C：2212(||1)0xxx恒成立；D：当1x时，有211112x，故不等式不一定成立；故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1xxyxx的最大值为（）A．3B．2C．1D．-1【答案】D【分析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；【详解】2233(1)(1)111xxxxyxx1[(1)]1(1)xx12[(1)]()111xx，当且仅当1111xx,即2x等号成立.故选：D.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.5．（2022·全国·高三专题练习）若72x…，则2610()3xxfxx有（）A．最大值52B．最小值52C．最大值2D．最小值2【答案】D【分析】构造基本不等式1()33fxxx即可得结果.【详解】∵72x，∴30x，∴223161011()=32323333xxxfxxxxxxx，当且仅当133xx，即4x时，等号成立，即fx有最小值2.故选：D.【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式21xym2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣8≤m≤1B．m≤﹣8或m≥1C．﹣1≤m≤8D．m≤﹣1或m≥8【答案】A【分析】由题意可得21xy（x+2y）（21xy）4yxxy4≥4+248，不等式21xym2+7m成立⇔m2+7m＜（21xy）min，即可求得实数m的取值范围．【详解】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，∴21xy（x+2y）（21xy）4yxxy4≥4+248．（当4yxxy，即x＝2y12时取等号），∵不等式21xym2+7m成立，∴m2+7m≤8，求得﹣8≤m≤1．故选：A．7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数,xy满足1xy，则1912xy的最小值是（）A．3B．4C．10D．16【答案】B【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.【详解】由1xy，可得124xy，19119()(12)12412129(1)129(1)(19)(102)4412412xyxyxyyxyxxyxy当且仅当(21)3yx取等号，故选：B8．（2022·全国·高三专题练习）设,xy均为正实数，且33122xy，则xy的最小值为（）A．8B．16C．9D．6【答案】A【分析】根据题中条件，将所求式子化为3322422xyxyxy，展开后，再利用基本不等式，即可得出结果.【详解】因为,xy均为正实数33122xy，所以3322422422xyxyxyxy2222324322412482222yxyxxyxy，当且仅当2222yxxy，即4xy时取等号.因此xy的最小值为8.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.9．（2022·全国·高三专题练习）若正数,xy满足220xyxy，则2xy的最小值为（）A．9B．8C．5D．4【答案】D【分析】将已知条件化简