第15讲 等差数列、等比数列综合运用（原卷版）

第15讲等差数列、等比数列综合运用【知识点总结】【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（）A．978B．557C．467D．979例2．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列na中，2a，8a，12a依次成等比数列，则4a的值是（）A．1619B．2219C．26D．58例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na是公差不为零的等差数列，nb是正项等比数列，若11ab，77ab，则（）A．44abB．55abC．88abD．99ab例4．（2022·全国·高三专题练习）数列na，nb满足112ab，112nnnnbaab，*nN，则数列nab的前n项和为（）A．14413nB．4413nC．11413nD．1413n例5．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（）A．4B．5C．4或5D．5或6例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知等差数列na和等比数列nb满足12a，24b，22lognnab，*Nn．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设数列na中不在数列nb中的项按从小到大的顺序构成数列nc，记数列nc的前n项和为nS，求100S．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为整数的数列na满足31a，74a，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得1212mmmmmmaaaaaa．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列na和正项等比数列nb}，111ab，3b是2a，6a的等差中项，8a是3b，5b的等比中项，则下列关系成立的是（）A．100100abB．102411abC．105abD．999ab2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na，nb中满足1231nnaan，110a，1nnba，若nb前n项之和为nS，则满足不等式16170nS的最小整数n是（）.A．8B．9C．11D．103．（2022·浙江·高三专题练习）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（）A．2655万元B．2970万元C．3005万元D．3040万元4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列na的前n项和为nS，若981S，713a，若3S，1716SS，kS成等比数列，则k（）A．11B．13C．15D．175．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列na满足3a，432a，52a成等差数列．其前n项和为nS，且531S，则（）A．412nnaB．32nnaC．51322nnSD．4216nnS6．（2019·山东·青岛二中高三阶段练习（文））已知na为等差数列，nb为等比数列，其公比1q且0ib1,2,,in，若11ab，1111ab，则（）A．66abB．66abC．66abD．66ab或66ab7．（2021·广东·红岭中学二模）已知等差数列na的公差为0dd，且1a、3a、6a成等比数列，则1ad（）A．2B．3C．4D．58．（2021·北京育英中学高三阶段练习）已知数列121,,,4aa成等差数列，1231,,,,4bbb成等比数列，则212aab的值是（）A．12B．12C．12或12D．149．（2020·宁夏·银川二中一模（理））设等比数列na的前n项和为nS,已知396,,SSS成等差数列,且252maaa,则m（）A．3B．6C．8D．9二、多选题10．（2020·江苏南通·高三期中）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A．若数列{}na的前n项和2(nSanbnca，b，c为常数）则数列{}na为等差数列B．若数列{}na的前n项和122nnS，则数列{}na为等差数列C．数列{}na是等差数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，32nnSS，仍为等差数列D．数列{}na是等比数列，nS为前n项和，则nS，2nnSS，32nnSS，仍为等比数列；11．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列na的首项为1，公差4d，前n项和为nS，则下列结论成立的有A．数列nSn的前10项和为100B．若1,a3,ama成等比数列，则21mC．若111625niiiaa，则n的最小值为6D．若210mnaaaa，则116mn的最小值为2512三、填空题12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na是首项14a的等比数列，且14a，5a，32a成等差数列，则其公比q等于________．13．（2019·江苏·无锡市第一中学高三开学考试）设等比数列na的前n项和为nS.若3S，9S，6S成等差数列，且83a，则5a的值为________．14．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列na中公比01q，，若352654aaaa，，2lognnba，记数列nb的前n项和为nS，则1212nSSSnL的最大值为_______15．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））设数列na是以2为首项，1为公差的等差数列，nb是以1为首项，2为公比的等比数列，则12319bbbbaaaa________.16．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列{}na中，14a，42a，7a成等差数列，则35119aaaa_______.17．（2022·浙江·高三专题练习）na为公差不为0的等差数列，且123,,,nkkkkaaaa恰为等比数列，其中1233,5,9kkk，则nk为_______．18．（2021·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列na中，12a，且2a，42a，5a成等差数列，记nS是数列na的前n项和，则6S________.19．（2021·河南·高三阶段练习（理））设nS为等比数列na的前n项和，若13a，且321,2,3SSS成等差数列，则na_________.20．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三阶段练习（理））若数列na是等差数列，12nanb，满足123218bbb，且12318bbb，则数列na的通项公式为______.四、解答题21．（2021·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知Sn是等差数列na的前n项和，从以下3个条件中任选一条，回答问题.①3243SSS，12a，②公差53,10da，③21a，2372nnnS.（1）求数列na的通项公式；（2）若等比数列nb满足公比10q，475614,32bbbb，求数列nnab的前n项和.22．（2021·黑龙江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比数列na的前n项和为nS，且122nnaS，数列nb满足112,2nnbnbnb，其中*nN.（1）分别求数列na和nb的通项公式；（2）在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成一个公差为nc的等差数列，求数列nnbc的前n项和nT.23．（2021·广东惠州·一模）已知等差数列na和等比数列nb满足14a，12b，2221ab，332ab.（1）求na和nb的通项公式；（2）数列na和nb中的所有项分别构成集合A，B，将AB的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列nc，求数列nc的前60项和60S.24．（2021·江苏·高三开学考试）已知集合|2,AxxnnN，|3,nBxxnN，将AB中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列na，设数列na的前n项和为nS．（1）若27ma，求m的值；（2）求50S的值．25．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项等差数列na的前n项和为3,9nSS，若1231,1,3aaa构成等比数列.（1）求数列na的通项公式.（2）设数列11nnaa的前n项和为nT，求证:13nT26．（2022·河北·高三专题练习）已知正项等差数列na满足25a，且4a、51a、71a成等比数列，数列nb满足113ab，11nnbb．（1）求数列nb的通项公式；（2）设1nnnnacbb，求数列nc的前n项和nS．27．（2022·浙江·高三专题练习）已知na是各项均为正数的等比数列，1a=1，且3a，23a，4a成等差数列．（1）求na的通项公式；（2）设2lognnnbaa，求数列nb的前n项和．28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，1434nnnaab，1434nnnbba.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.