第16讲 数列通项（解析版）

第16讲数列通项【知识点总结】一、观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.二、利用递推公式求通项公式①叠加法：形如1()nnaafn的解析式，可利用递推多式相加法求得na②叠乘法：形如1()nnafna(0)na*(2,)nnN的解析式，可用递推多式相乘求得na③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.④利用nS与na的关系求解形如1(,)()nnnfSSga的关系，求其通项公式，可依据1*1(1)(2,)nnnSnaSSnnN，求出na【典型例题】（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，*111,2NnnaaSn，则有（）A．Sn＝3n－1B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1D．21,123,2nnnan【答案】ABD【详解】依题意*111,2NnnaaSn，当1n时，2122aa，当2n时，12nnaS，11222nnnnnaaSSa，所以13nnaa，所以2223232nnnaan，所以21,123,2nnnan.当2n时，1132nnnaS；当1n时，111Sa符合上式，所以13nnS.13nnSS，所以数列nS是首项为1，公比为3的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的首项11a，满足11()()2nnnaanN，则2018a__________.【答案】201821132【详解】依题意11a，112nnnaa，所以20181213220182017aaaaaaaa2201711112222018201820181111212213132122.故答案为：201821132例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a，且111233nnnaan，则数列na的通项公式na______．【答案】23nn【详解】∵111233nnnaan，∴113312nnnnaan，即113312nnnnaan．又11a，1133a，∴数列3nna是以3为首项，1为公差的等差数列，∴33112nnann，∴数列na的通项公式23nnna．故答案为：23nn.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的首项为12，且满足*1112,nnnanannN.求na的通项公式.【详解】由111nnnana，得111nnanan，又112a，所以当2n时，123211232112321······1143nnnnnnnaaaaannnaaaaaaannn1121nn，又1n也满足上式，所以11nann；例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{ }na的前n项和为nS，11a，121(2)121nnaaaannnn…，nN，求数列{ }na的通项公式.【详解】解：因为11a，112(*)121nnaaaannn，所以2122a，22a，又1121121nnaaaannn(**)，(**)(*)得111nan，所以11nan，又121,2aa，所以nan，*nN.例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列na中，112,22nnaaa，求na.【详解】解：因为122nnaa，所以122(2)nnaa，而124a，∴2na是首项为4，公比为2的等比数列，故112422nnna-++=?，∴122nna.例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na中，11a，121nnnaaa，求na的通项公式.【详解】121nnnaaa，两边取倒数得121112nnnnaaaa，即1112nnaa，又因为111a=，所以1na是首项为1，公差为2的等差数列，所以112121nnna，故121nan；【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（）①数列1，2，3可以表示成{1，2，3}；②数列1，0，1与数列1，0，1是同一数列；③数列1n的第1k项是11k；④数列中的每一项都与它的序号有关．A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【分析】利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．【详解】解：对于①，1,2,3是集合，不是数列，故选项①错误；对于②，数列是有序的，故数列1，0，1与数列1，0，1是不同的数列，故选项②错误；对于③，数列1n的第1k项是11k，故选项③正确；对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．故选：B．2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=1121,22,nnanan为偶数，为奇数，则解下4个环所需的最少移动次a4数为（）A．7B．10C．12D．22【答案】A【分析】根据通项公式直接求项即得结果.【详解】因为数列{an}满足a1=1，且an=1121,22,nnanan为偶数，为奇数，所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，所以a4=2a3-1=2×4-1=7.故选:A【点睛】本题考查根据数列通项求项，考查基本分析求解能力，属基础题.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足13a，111nnaann，则na（）A．14nB．14nC．12nD．12n【答案】B【分析】由1111nnaann，利用累加法得出na.【详解】由题意可得111111nnaannnn，所以21112aa，321123aa，…，1111nnaann，上式累加可得121321nnnaaaaaaaa111111112231nnn，又13a，所以14nan.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足2121nnnaaa，且a1=1，a2=5，则18a（）A．69B．105C．204D．205【答案】D【分析】可将已知适当变形成为2111nnnnaaaa，可构造等差数列1nnaa，利用累加法求得18a【详解】设2121nnnaaa，2111nnnnaaaa故1nnaa构成以4为首项，1为公差的等差数列13nnaan故1818171716aaaaa……211aaa1716……131711717131712052故选：D【点睛】若na满足1nnfnaa，可考虑用累加法求通项公式，其原理为112nnnnnaaaaa……211aaa1fnfn……11fa，运算化简即可.5．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列na中，12a，11ln1nnaan，则2020a（）.A．2ln2020B．22019ln2020C．22020ln2020D．2020ln2020【答案】A【分析】通过赋值，利用累加法，即可求得结果.【详解】因为12a，11ln1nnaan，所以1ln(1)lnnnaann，所以21ln2ln1aa，32ln3ln2aa，……20202019ln2020ln2019aa，以上各式累加得20201ln2020ln1aa，即20201ln20202ln2020aa.故选：A.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a，1nnnanaa，则数列na的通项公式为na（）A．21nB．11nnnC．2nD．n【答案】D【分析】依题意可得11nnanan，再利用累乘法计算可得；【详解】解：由1nnnanaa，得11nnnana，即11nnanan，则11nnanan，1212nnanan，2323nnanan，…，21221ana，，由累乘法可得1nana，所以,2nann，又11a，符合上式，所以nan.故选：D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足113a，12321nnnaan(2n，*nN)，则数列na的通项na（）A．2141nB．2121nC．12123nnD．113nn【答案】A【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．【详解】解：数列{}na满足113a，123(2,*)21nnnaannNn…，整理得12321nnanan，122521nnanan，......，2115aa，所有的项相乘得：113(21)(21)naann，整理得：2141nan，故选：A．8．（2022·全国·高三专题练习）若nS为数列na的前n项和，且22nnSa，则na等于（）A．2nB．2nC．12nD．12n【答案】B【分析】利用11,1,2nnnSnaSSn求得na.【详解】1n时，11122,2aaa.2n时，1122nnSa，11122,2nnnnnnnaSSaaaa，所以数列na是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nna.故选：B9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列na中的前n项和22nnS，数列2logna的前n项和为nT，则20T（）.A．190B．192C．180D．182【答案】B【分析】根据公式1nnnaSS计算通项公式得到14,12,2nnnan，故2,11,2nnbnn，求和得到答案.【详解】当1n时，111224aS；当2n时，11112222222nnnnnnnnaSS，经检验14a不满足上式，所以14,12,2nnnan，2lognnba，则2,11,2nnbnn，201911921922T.故选：B.10．（2022·全国·高三专题练习）数列na满足211232223nnnaaaa，则na（）A．13nB．3nnC．1123nD．1132n【答案】D【分析】令1n可求得1a的值，由2n，由作差