第17讲 数列求和（原卷版）

第17讲数列求和【知识点总结】求数列前n项和的常见方法如下：（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前n项和公式.（2）错位相减法：数列的通项公式为nnab或nnab的形式，其中{}na为等差数列，{}nb为等比数列.（3）分组求和法：数列的通项公式为nnab的形式，其中{}na和{}nb满足不同的求和公式.常见于{}na为等差数列，{}nb为等比数列或者{}na与{}nb分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）数列na的通项公式11nnan，它的前n项和9nS，则n（）A．9B．10C．99D．100例2．（2022·全国·高三专题练习）在公差大于0的等差数列na中，71321aa，且1a，31a，65a成等比数列，则数列11nna的前21项和为（）A．12B．21C．11D．31例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2021=（）A．3B．2C．1D．0例4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列na的前n项和为34,3,10nSaS，则12111nSSS___________.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{}na的前n项和224()nnSnN，函数()fx对一切实数x总有()(1)1fxfx，数列{}nb满足121(0)()()()(1).nnbfffffnnn分别求数列{}na、{}nb的通项公式.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知na为等差数列，nb为等比数列，且满足114324321,2,4,4abaaabbb．（1）求na和nb的通项公式；（2）对任意的正整数n，设nnncab，求数列nc的前n项和nS．例7．（2022·全国·高三专题练习）数列na的前n项和为nS，111,21nnaaS.（1）求na，nS；（2）设1nnnnabSS，数列nb的前n项和为nT.证明：1143nT„.例8．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知数列na是前n项和为122nnS（1）求数列na的通项公式；（2）令2lognnnbaa，求数列nb的前n项和nT．【技能提升训练】一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数311fxx，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得5f4067ffff（）.A．25B．26C．13D．2522．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()yfx满足()(1)1fxfx，若数列na满足121(0)(1)nnafffffnnn，则数列na的前20项和为（）A．100B．105C．110D．1153．（2020·全国·高三专题练习）已知函数sin3fxxx，则12340332017201720172017ffff的值为A．4033B．-4033C．8066D．-80664．（2021·全国·高三专题练习（文））已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（）A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2nC．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n5．（2022·全国·高三专题练习）化简221(1)2(2)2222nnnSnnn的结果是（）A．122nnB．122nnC．22nnD．122nn6．（2022·全国·高三专题练习）根据预测，某地第*nnN个月共享单车的投放量和损失量分别为na和nb（单位：辆），其中4515,1310470,4nnnann，5nbn，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（）A．421B．451C．439D．935二、填空题7．（2022·上海·高三专题练习）已知数列na满足231233333nnaaaannN，则数列3311loglognnaa的前n项和nS为______．8．（2022·江苏·高三专题练习）已知数列{}na的通项公式2sin4nna，*nN，其前n项和为nS，则2020S______．9．（2022·上海·高三专题练习）设数列na有(1)log2006nna，则122005111aaa_______.三、解答题10．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=5，nSn+1-（n+1）Sn=n2+n.（1）求证：数列nSn为等差数列；（2）令bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.11．（2022·河北·高三专题练习）己知数列na的前n项和为nS，且11nnnSSa，_______.请在①1713aa；②137,,aaa；成等比数列；③1065S，这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下面问题.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列2nna的前n项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12．（2022·全国·高三专题练习）有一正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，满足a2a4=64，S3=14.设bn=log2an（n∈N*）.（1）求a1，a2的值，并求出数列{an}的通项公式；（2）判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由；（3）记11nnncbb，求数列{cn}的前n项和Tn.13．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足1231258312nnnaaana．（1）求数列na的通项公式；（2）设313232nnannabnn，求数列nb的前n项和nT．14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}na的前n项和为nS，且满足*2()nnaSnnN.（1）求证：数列{1}na是等比数列；（2）记2221log(1)log(1)nnncaa，求数列{}nc的前n项和nT.15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，且满足21*nnaSnN．（1）求数列na的通项公式：（2）设11211nnnnabaa，数列nb的前n项和为nT，求证：213nT．16．（2022·全国·高三专题练习）在①22nnSa；②32442aaa；③321,2,SSS成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{an}是各项均为正数的等比数列，前n项和为Sn，a1＝2，且___.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若1211nnnnbaa（*nN），求数列{bn}的前n项和Tn.17．（2022·全国·高三专题练习）设数列na的前n项和为nS，已知12a且数列nSn是以12为公差的等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设212nnnnabaa，数列nb的前n项和为nT，求证：512nTn．18．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列na的前n项和为nS，11a，1123(2)nnnSSSn．（1）求数列na的通项公式：（2）令11nnnnabSS，求数列nb的前n项和nT．19．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列na的前n项和为nS，已知214Sa，且1232,2,aaa成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足11nnnnnSnabSS，求数列nb的前n项和nT．20．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列na，nb，满足22nna，*21kkbakN，21kb，2kb，21kb成等差数列．（1）证明：2kb是等比数列；（2）数列nc满足221281nnnncnnbb，记数列nc的前n项和为nS，求nS．21．（2022·全国·高三专题练习）在正项数列na中，11a，22a，且1111(2)nnnnnnnnaaaanaaaa.（1）求na的通项公式；（2）求数列13nnaa的前n项和nS.22．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列na的前n项和为nS，数列nb为正项等比数列，其满足112ab，453Sab，328ab.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若_______，求数列nc的前n项和nT.在①11nnnncbaa，②nnncab，③112nnnnnacaab这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.23．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列na满足公差0d，前n项的和为nS，342Sa，1a，32a，42a成等比数列.（1）求na的通项公式；（2）若1(1)(25)nnnnnbaa，求数列nb的前100项的和100T.24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列na满足12a，1122nnnaa.（1）证明：数列2nna为等差数列；（2）设2nnnab，证明：222121112nbbb.25．（2021·全国·高三专题练习）设{an}是等差数列，(n∈N*)；nb是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*).已知11b，322bb，b5=a3+a5，b7=a4+2a6.（1）求Sn与an；（2）若nnca，求数列nc的前n项和nT.26．（2021·全国全国·模拟预测）已知数列na满足212nnnaaa，*nN，且11a，5722aa.（1）求数列na的通项公式；（2）记在区间1*3,3mmmN上，na的项数为mb，求数列mb的前m项和.27．（2021·海南二中高三阶段练习）递增等差数列na中，3716aa，460aa.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列82nana前n项和nS.28．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知3，1，3，5中的3个数为等差数列na的前3项，且99不在数列na中，101在数列na中.（1）求数列na的通项na；（2）设212(41)nnnnbaa，求数列nb的前n项和nS.29．（2021·全国·高三专题练习）设数列na是公差大于零的等差数列，已知13a，22424aa.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足sin()cos()nnnanban为奇数为偶数，求122021bbb.30．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列na中，12a，12nnaa．（1）求na；（2）若nnbna，求数列nb的前5项的和5S.