第19讲 复数（原卷版）

第19讲复数【知识点总结】一.基本概念（1）i叫虚数单位，满足21i，当kZ时，44142431,,1,kkkkiiiiii.（2）形如(,)abiabR的数叫复数，记作abiC.①复数(,)zabiabR与复平面上的点(,)Zab一一对应，a叫z的实部，b叫z的虚部；0,bzRZ点组成实轴；0,bz叫虚数；0b且0a，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.②两个复数,(,,,)abicdiabcdR相等acbd（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)abiabR的模，也就是向量OZ的模，即有向线段OZ的长度，其计算公式为22||||zabiab，显然，2222||||,zabiabzzab.二.基本性质1.复数运算（1）()()()()iabicdiacbd（2）()()()()abicdiacbdadbci22222()()zz||||)2abiabiabzzzzza(注意其中22||zab，叫z的模；zabi是zabi的共轭复数(,)abR.（3）2222()()()()(0)()()abiabicdiacbdbcadicdcdicdicdicd.实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.2.复数的几何意义（1）复数(,)zabiabR对应平面内的点(,)zab；（2）复数(,)zabiabR对应平面向量OZ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数(,)zabiabR的模||z表示复平面内的点(,)zab到原点的距离.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）复数2i2iz（i为虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限例2．（2022·全国·高三专题练习）已知复数z满足i243iz，则z（）A．2B．3C．5D．22（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足12i=10z，则（）A．|z|=25B．2z是纯虚数C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα=55例4．（2022·上海·高三专题练习）已知复数13i1i12iz，则z___________.例5．（2022·江苏·高三专题练习）已知1i1imn其中,mn是实数，i是虚数单位，则n_________例6．（2022·全国·高三专题练习）若复数202121iz，其中i为虚数单位，则z的虚部为_____________.例7．（2022·全国·高三专题练习）复数i2i32izmmR在复平面内对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是_____________.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知a，b，tR，复数2i1it的实部为a，虚部为b，则（）A．2abB．2abC．2abD．2ba2．（2022·全国·高三专题练习）设2i1iz，则z的共轭复数的虚部为（）A．32B．3i2C．32D．3i23．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中∶①两个复数不能比较大小；②若izab，则当且仅当00ab，时，z为纯虚数；③221223()()0zzzz则123zzz；④i1i1xyxy；⑤若实数a与ia对应，则实数集与纯虚数集一一对应；其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．（2022·全国·高三专题练习）若2ii(,,)1iaxyaxyR，且1xy，则实数a的取值范围是（）A．(22,)B．(,22)(22,)C．(22,2)(22,)D．(,2)(2,)5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知复数z的共轭复数为z，若i2izz（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．1i3B．2i3C．13D．236．（2022·浙江·高三专题练习）设z，1z，2z为复数，则下列命题中一定成立的是（）A．如果120zz，那么12zzB．如果2z，那么2zC．如果13zz，那么2zD．如果10z，20z，那么120zz，且120zz7．（2022·浙江·高三专题练习）复数12iz，若复数125zz，则在复平面内，复数2z对应的点与复数1z对应的点（）A．关于实轴对称B．关于虚轴对称C．关于原点对称D．关于点1,1对称8．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为12i，3i，12i(i为虚数单位)，则点D对应的复数为（）A．35iB．1iC．13iD．3i9．（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足12i34iz（i为虚数单位），则在复平面内z所对应的点为（）A．1,2B．11,25C．2,1D．1,210．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数47i(i23iz是虚数单位），则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz（）．A．12iB．2iC．12iD．2i12．（2022·全国·高三专题练习（理））设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()xyB．22(1)1xyC．22(1)1yxD．22(+1)1yx13．（2022·全国·高三专题练习）若复数312iz（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式icosisine(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有i10xe，根据上述背景知识，试判断2020i3e表示的复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．（2022·全国·高三专题练习）欧拉公式iscoinsixexx(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i3e表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（2022·全国·模拟预测）已知复数2(1i)i1azaR在复平面上对应的点在直线0xy上，则a（）A．2B．2C．3D．317．（2022·全国·高三专题练习）设复数12iz（i是虚数单位），则zz的值为（）A．32B．22C．1D．218．（2022·全国·高三专题练习）设2i12iz，则z（）A．35B．35-C．45D．119．（2022·全国·高三专题练习）已知复数z满足i2i62iz，则z（）A．3B．2C．5D．620．（2022·浙江·高三专题练习）已知复数0zabib，满足1z，复数z的实部为22，则复数z的虚部是（）A．22B．22C．12D．1221．（2022·全国·高三专题练习）已知i为虚数单位，复数z满足|2i|1z，则||z的最大值为（）A．1B．3C．2D．322．（2022·全国·高三专题练习（文））若复数1iz，则2|2|zz=（）A．0B．2C．4D．623．（2021·全国·高三专题练习）已知复数2i是关于x的方程20,xpxqpqR的一个根，则piq（）A．25B．5C．41D．4124．（2021·全国·高三阶段练习（理））复数312izi的共轭复数为（）A．1355iB．1355iC．1322iD．1355i二、多选题25．（2022·全国·高三专题练习）若实数x，y满足(i)(3i)24ixy，则（）A．1iy的共轭复数为1iB．1xyC．|i|y的值可能为10D．32yx26．（2022·全国·高三专题练习）已知复数12iz，22iz，则（）A．2z是纯虚数B．12zz对应的点位于第二象限C．125zzD．1225zz27．（2022·江苏·高三专题练习）若复数21iz，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是A．z的虚部为1B．|2|zC．2z为纯虚数D．z的共轭复数为1i28．（2021·江苏·海安高级中学高三阶段练习）设1z，2z是复数，则下列说法中正确的是（）A．1212zzzzB．1212zzzzC．若12zzR，则12zzD．若120zz，则12zz29．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）设z是z的共轭复数，下列说法正确的是（）A．2zzzB．1zzC．zz是实数D．zz是纯虚数30．（2021·全国·高三专题练习）设12,zz是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若120zz，则12zzB．若12zz，则12zzC．若12zz，则1122zzzzD．若12zz，则2212zz31．（2021·重庆·模拟预测）已知复数12iz（i为虚数单位）在复平面内的对应的点为A，复数2z满足221i2,zz在复平面内对应的点B为,xy，则下列结论正确的有（）A．复数1z的虚部为iB．22(1)(1)4xyC．12zz的最大值132D．12zz的最小值为13232．（2021·全国·高三专题练习（理））设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．2||zzzB．22||zzC．若||1z，则|i|z的最大值为2D．若|1|1z，则0||2z33．（2021·湖南·高三阶段练习）已知复数122iz（i为虚数单位）在复平面内对应的点为1P，复数2z满足2i1z，则下列结论正确的是（）A．1P点的坐标为2,2B．122iz（1z为1z的共轭复数）C．21zz的最大值为13+1D．21zz的最小值为22三、填空题34．（2022·浙江·高三专题练习）已知i是虚数单位，,xyR，且32xyxyixxi，则xy__________.35．（2022·全国·高三专题练习（文））i为虚数单位，若关于x的方程22i2i0xxm有实根，则实数m___________，36．（2022·上海·高三专题练习）若复数z满足31zzi，其中i为虚数单位，则z_________．37．（2022·全国·高三专题练习）i是虚数单位，若复数(12i)(3i)zm是纯虚数，则实数m的值为___________.38．（2022·全国·高三专题练习（理））复数2zai，aR，若12zii为实数，则a______．39．（2022·上海·高三专题练习）已知复数113zi，21z，12zz是正实数，则复数2z__________.40．（2022·全国·高三专题练习）已知aR，i为虚数单位，若2aii为实数，则a的值为__________．41．（2022·全国·高三专题练习）已知m