第21讲 三角函数的性质（原卷版）

第21讲三角函数的性质【知识点总结】1.“五点法”作图原理在确定正弦函数sin([0,2])yxx的图像时，起关键作用的5个点是3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22.在确定余弦函数cos([0,2])yxx的图像时，起关键作用的5个点是3(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)22.2.三角函数的图像与性质sinyxcosyx在0,2上的图像定义域,,值域（有界性）1,11,1最小正周期（周期性）22奇偶性（对称性）奇函数偶函数单调增区间2,222kkkZ2,2kkkZ单调减区间32,222kkkZ2,2kkkZ对称轴方程2xkkZxkkZ对称中心坐标,0kkZ,02kkZ最大值及对应自变量值22xk时maxsin1x2xk时maxcos1x最小值及对应自变量值322xk时minsin1x2xk时mincos1x函数正切函数tan,2yxxkxyO112xyO112xOy图像定义域|,2xxkkZ值域(,)周期性T奇偶性奇函数，图像关于原点对称单调性在(,),()22kkkZ上是单调增函数对称轴无对称中心,0()2kkZ3.sin()yAwx与cos()(0,0)yAwxAw的图像与性质（1）最小正周期：2Tw.（2）定义域与值域：sin()yAwx，）cos(yAwx的定义域为R，值域为[-A,A].（3）最值假设，00Aw.①对于sin()yAwx，当时，函数取得最大值当时，函数取得最小值2(Z);22();2wxkkAwxkkZA②对于）cos(yAwx，当时，函数取得最大值当时，函数取得最小值2(Z);2();wxkkAwxkkZA（4）对称轴与对称中心.假设，00Aw.①对于sin()yAwx，当，即时，的对称轴为当，即时，的对称中心为000000()sin()21sin()()sin()0sin()(,0).wxkkZwxywxxxwxkkZwxywxx②对于）cos(yAwx，当，即时，的对称轴为当，即时，的对称中心为000000()cos()1cos()()cos()20cos()(,0).wxkkZwxywxxxwxkkZwxywxx正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位置.（5）单调性.假设，00Aw.①对于sin()yAwx，增区间；减区间[2,2]()223[2,2]().22wxkkkZwxkkkZ②对于）cos(yAwx，增区间；减区间[2,2]()[2,2]().wxkkkZwxkkkZ（6）平移与伸缩sin()yAx（0A，0）的图象，可以用下面的方法得到：①画出函数sinyx的图象；②把sinyx的图象向左（0）或向右（0）平移个单位长度，得到函数sin()yx的图象；③把sin()yx图象上各点的横坐标变为原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sin()yx的图象；④把sin()yx图象上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），得到函数sin()yAx的图象.【典型例题】例1．（2018·福建省泉州市泉港区第一中学高三期中（文））函数的部分图象如图示，则下列说法不正确的是()A．sin26fxxB．fx的图象关于点5,012成中心对称C．212xkxfx在R上单调递增D．已知函数fx的图象向右平移6个单位后得到的函数图象关于原点对称例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数2sin13fxx的定义域为（）A．56,622kk（kZ）B．156,622kk（kZ）C．56,644kk（kZ）D．156,644kk（kZ）例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()3fxx(ω0)，若f(x)在2[0,]3上恰有两个零点，则ω的取值范围是（）A．5[,4)2B．4[1,]3C．5[1,]3D．3[,3)2例4．（2022·全国·高三专题练习）若cossinfxxx在,上是减函数，则的最大值是（）A．8B．4C．38D．34例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝2sin,322x是偶函数，则θ的值为（）A．12B．6C．4D．3（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于x的方程223cossin23xxm在区间,46上有且只有一个解，则m的值可能为（）A．2B．1C．0D．1例7．（2022·全国·高三专题练习）将函数sin(2)3yx的图像向右平移3个单位，可得下列哪些函数（）A．sin2yxB．sin(2)3yxC．5cos(2)6yxD．2sin(2)3yx例8．（2021·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知函数2313()cos2sin2cos2224fxxxx.xf(x)（1）求函数()fx在区间,624上的值域；（2）用五点法在网格纸中作出()fx在区间0,2上的大致图象.例9．（2021·全国·高三专题练习）已知0，函数23()cos(2)sin2fxxx．（Ⅰ）若6π，求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若()fx的最大值是32，求的值．例10．（2021·江苏高邮·高三阶段练习）已知函数sin(0,0,)2fxAxA的部分图象如图.（1）求函数fx的解析式;（2）将函数fx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6个单位，得到函数gx的图象，当,6x时，求gx值域.【技能提升训练】一、单选题1．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））设点P是函数()sinfxx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值8，则()fx的最小正周期是（）A．2B．C．2D．42．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数()sin(0,0)4fxAxA在区间24,33上的图象大致如下，且06f；则()fx图象的一条对称轴方程可以是（）A．3xB．2xC．4xD．23x3．（2021·河南·高三阶段练习（理））πsin23fxx的图象向左平移个单位，恰与πcos23gxx的图象重合，则的取值可能是（）A．π3B．5π12C．π2D．7π124．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为，且在区间,2单调递增的是（）A．|sin|yxB．tan2yxC．cos2yxD．sin2yx5．（2022·全国·高三专题练习）将函数1223fxsinx的图象上每一个点向左平移3个单位，得到函数gx的图象，则函数gx的单调递增区间为A．,,44kkkZB．3,,44kkkZC．2,,36kkkZD．5,,1212kkkZ6．（2022·全国·高三专题练习）若函数()2sin12fxx的定义域为（）A．54,4()33kkkZB．154,4()33kkkZC．54,4()66kkkZD．154,4()66kkkZ7．（2022·全国·高三专题练习）将函数5()4sin2112fxx的图象向右平移12个单位长度后，所得图象对应的函数gx在,84上的值域为（）A．[]0,1B．1,3C．[1,221]D．1,38．（2021·北京市第五中学高三阶段练习）已知0,x，则cos22sinxxfx的值域为（）A．3,2B．31,2C．31,2D．3,29．（2021·全国·高三专题练习）函数2sincos2sin2cos2yxxxx的最大值为（）A．52B．3C．72D．410．（2022·全国·高三专题练习）设函数sin2fxx，xR，若0,，函数fx是偶函数，则的值为（）A．12或1112B．6或56C．4或34D．3或2311．（2022·全国·高三专题练习）将函数()yfx的图象向右平移3个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（）A．()sin23fxxB．()sin6fxxC．()cos23fxxD．()cos26fxx12．（2022·全国·高三专题练习）设函数3()sinxxfxaabxc（0a且1a）．若()1ft，()3ft，则c（）A．1B．2C．3D．413．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,22fxx的图象相邻的两个对称中心之间的距离为2，若将函数()fx的图象向左平移6后得到偶函数()gx的图象，则函数()gx在下列区间上是单调递减的是（）A．,36B．7,412C．5,26D．0,314．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数中，周期为π，且在区间(,)2上单调递增的是（）A．cos2yxB．sin2yxC．sinyxD．sin||yx15．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数()sin()fxx（0）的图象经过点,024，一条对称轴方程为6x.则函数()fx的周期可以是（）A．34B．2C．4D．1216．（2022·全国·高三专题练习（文））4，34是函数()sin(0)fxx的两个相邻零点.则（）A．3B．2C．1D．1217．（2022·全国·高三专题练习）函数()sin(0)6fxx图像向右平移4个单位后所得函数图像与函数()fx的图像关于x轴对称，则最小值为（）A．2B．3C．4D．618．（2022·全国·高三专题练习）已知函数sincos0fxxx的最小正周期为，则该函数的图象（）A．关于点,03对称B．关于直线8x对称C．关于点,08对称D．关于直线3x对称19．（2022