第20讲 三角函数公式（原卷版）

第20讲三角函数公式【知识点总结】1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.（2）正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.（3）象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.（4）终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合|360,SkkZ2.弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么lr.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.（2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为（rad），半径为R，弧长为l，则有①lR；②212SR；③12SlR.3.三角函数的概念（1）三角函数的定义已知角终边上的任一点(,)Pxy（非原点O），则P到原点O的距离220rOPxy.sin,cos,tanyxyrrx.1rad=180π()°≈57.3°1°=π180rad≈0.01745rad180°=πrad（2）几个特殊角的三角函数值0，2，，32的三角函数值如下表所示：函数0232sin0101cos1010tan0不存在0不存在（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.sin(2)sink，cos(2)cosk，tan(2)tank，其中kZ.4.同角三角函数间的基本关系（1）平方关系22sincos1.（2）商数关系sintancos.作用：（1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角函数恒等式.5.诱导公式（1）公式二sin()sin，++++++tanαcosαsinαOxyOxyyxOcos()cos，tan()tan.（2）公式三sin()sin，cos()cos，tan()tan.（3）公式四sin()sin，cos()cos，tan()tan.（4）公式五sin()cos2，cos()sin2.（5）公式六sin()cos2，cos()sin2.6.常用三角恒等变形公式和角公式sin()sincossincoscos()coscossinsintantantan()1tantan差角公式sin()sincossincoscos()coscossinsintantantan()1tantan倍角公式sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin22tantan21tan降次（幂）公式2211cos21cos2sincossin2;sin;cos;222半角公式1cos1cossin;cos;2222sin1costan.21cossina辅助角公式22sincossin(),tan(0),babababa角的终边过点(,)ab，特殊地，若22sincosabab或22ab，则tan.ba【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的侧面积（单位：2cm）为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：2cm）是（）A．2B．1C．12D．13例2．（2022·全国·高三专题练习）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cosθ＝－35，若点M(x，8)是角θ终边上一点，则x等于（）A．－12B．－10C．－8D．－6例3．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β∈5(,)36，若sin()6a＝45，cos5()6＝513，则sin(α－β)的值为()A．1665B．3365C．5665D．6365（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知5cos()5，5cos213，其中，为锐角，以下判断正确的是（）A．sin21312B．19cos()565C．8coscos565D．11tantan8（多选题）例5．（2022·江苏·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．sin15cos152sin60B．()()()sin15sin15coscos15sinC．()coscoscossinsinD．()tantantan1tantan例6．（2022·全国·高三专题练习）已知α∈（0，2），β∈（﹣π，﹣2），sinα＝7210，cosβ＝255，则α+2β的值为______例7．（2022·全国·高三专题练习）若0,2，4cos35，则sin___________例8．（2022·全国·高三专题练习）若tanα=2，则22sin1sin2的值为___________.例9．（2022·全国·高三专题练习）已知πcos()4x＝35，则sin2x＝________．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（）A．6B．3C．6D．32．（2022·全国·高三专题练习）与角2021终边相同的角是（）A．221°B．2021C．221D．1393．（2022·全国·高三专题练习）与角94的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A．245k，kZB．93604k，kZC．360315k，kZD．54k，kZ4．（2022·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么3的终边不可能属于的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边与240°角的终边相同，则角2的终边所在象限是（）A．第二或第四象限B．第二或第三象限C．第一或第四象限D．第三或第四象限6．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为512时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（）A．51B．512C．514D．517．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，扇环ABCD的两条弧长分别是4和10，两条直边AD与BC的长都是3，则此扇环的面积为（）A．84B．63C．42D．218．（2022·全国·高三专题练习）刘徽（约公元225年295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形，当n变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到sin1的近似值为（）A．90B．180C．270D．3609．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，角以x轴的非负半轴为始边，且点()1,2P在角的终边上，则cos（）A．33B．33C．63D．6310．（2022·全国·高三专题练习）已知点()1,22P是角终边上一点，则cos6等于（）A．2236B．266C．366D．63611．（2022·浙江·高三专题练习）已知角终边经过点()3,Py，且4tan3，则cos（）A．35-B．35C．45D．4512．（2022·上海·高三专题练习）已知点()tan,sinP在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．（2022·全国·高三专题练习）已知3sin5，若32，则tan的值为().A．34B．43C．34D．4314．（2022·全国·高三专题练习（理））已知2sincos3，则cos2（）A．13B．13C．12D．1215．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））已知tan2，则221sincos的值为（）A．34B．23C．53D．216．（2020·西藏·山南市第三高级中学高三阶段练习（理））已知3sincos3，则sin2的值为（）A．13B．23C．23D．1317．（2020·山东·高三专题练习）若1sincos3，0，则sin2cos2（）．A．8179B．8179C．8179D．817918．（2020·湖南·衡阳市八中高三阶段练习（理））若65sincos＝，则2sin＝（）A．925B．950C．1125D．115019．（2021·山西·吕梁学院附属高级中学高三期中（文））若3cos()45，则sin2（）A．2425B．725C．2425D．72520．（2021·河南·高三阶段练习（理））已知2sincos3，则tantan2（）A．97B．187C．718D．7921．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设0，7sincos13，则1tan1tan的值为（）A．177B．717C．177D．71722．（2021·新疆昌吉·模拟预测（理））已知6sintan5，则2cos2tan（）A．3172B．3641C．1312D．413623．（2022·江苏·高三专题练习）已知sin3cos0，则3cos4sinsincos（）A．94B．49C．34D．324．（2022·浙江·高三专题练习）已知tan2，则3sincos（）A．57B．310C．65D．8525．（2021·云南师大附中高三阶段练习（文））已知sin2cos0，则sinsin2sin（）A．3B．32C．12D．126．（2022·全国·高三专题练习）若3cos43，则sin2（）A．23B．23C．13D．1327．（2022·全国·高三专题练习）化简：3tan()cos(2)sin()2cos()sin()aaa的值为（）A．2B．1C．1D．228．（2022·全国·高三专题练习）已知,为锐角，3tan4，()4cos5，则2的值为（）A．56B．C．23D．229．（2022·浙江·高三专题练习）若02，且()105sin,cos105，则cos（）A．210B．25C．24D．2230．（2022·全国·高三专题练习）已知tan()4a＝2，则tanα＝（）A．13B．－13C．43D．－4331．（2022·全国·高三专题练习）已知角满足()2sincossincos2，则3tan28（）A．12B．22C．22D．132．