第23讲 立体几何小题（原卷版）

第23讲立体几何小题【知识点总结】1.表面积与体积计算公式表面积柱体直棱柱底2SchS斜棱柱底2(SclSc为直截面周长)圆锥2222()Srrlrrl椎体正棱锥底12SnahS圆锥2()Srrlrrl台体正棱台上下1()2SnaahSS圆台（22)Srrrlrl球24SR体积柱体柱VSh椎体锥13VSh台体台1()3VSSSShSh球343VR2.斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下:(1)建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,OxOy,建立直角坐标系.(2)画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段,在直观图中画成平行于'','',OxOy使'''45xOyo(或135o),它们确定的平面表示水平平面.(3)画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段,在直观图中画成平行于'x轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于y轴的线段,在直观图中画成平行于'y轴,且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”.(4)擦去辅助线.图画好后,要擦去'x轴、'y轴及为画图添加的辅助线(虚线).被挡住的棱画虚线.注:直观图和平面图形的面积比为2:4.3.外接球与内切球类型1：正方体或长方体外接球的球心在其体对角线的中点。类型2：正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。公式：222()2hRr,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理2sinarA类型3：正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。半径公式：222()RhRr（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理2sinarA类型4：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。类型5：锥体的内切球问题三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：PABCOABCOPABOPACOPBCVVVVV11111()33333PABCABCPABPACPBCABCPABPACPBCVSrSrSrSrSSSSr第三步：解出3PABCOABCOPABOPACOPBCVrSSSS【典型例题】例1．（2015·吉林长春·高三阶段练习（文））已知一个四面体的所有棱长都为2,则该四面体的外接球表面积为________.例2．（2015·吉林长春·高三阶段练习（理））已知三棱锥SABC中,13SABC,5SBAC,10SCAB.则该三棱锥的外接球表面积为________.例3．（2022·全国·高三专题练习（理））若棱长为23的正方体内部有一个球，球与正方体的各个面相切（即正方体的内切球）则该球的表面积为_____________．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是_______．例5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法：①若，m，n，则直线m与n可能平行；②若m，n，，则直线m与n可能相交､平行或异面；③若m，n∥，则直线m与n一定垂直；④若m，n，∥，则直线m与n一定平行.以上说法正确的是___________.（填序号）例6．（2022·全国·高三专题练习）已知,mn是不重合的两条直线，,为不重合的两个平面，给出下列命题：①若m，//m，则；②若//m，且//，则//m；③若m，//n，则mn．所有正确命题的序号为__．例7．（2022·上海·高三专题练习）有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，45ABC，//ADBC，1ABAD，DCBC，则这块菜地的面积为___________.【技能提升训练】一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习（文））四面体ABCD中，2ABCD，1BC，23BCD，且AB面BCD，则四面体ABCD的外接球表面积为（）A．36B．9C．1243D．4032．（2021·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABCABC中，2ABBC，2ABC，若该直三棱柱的外接球表面积为16，则此直三棱柱的高为（）．A．4B．3C．42D．223．（2021·江西上饶·高二阶段练习（理））三棱锥PABC中，PA平面ABC，且2PAAB，ABBC且4BC，三棱锥PABC的外接球表面积为（）A．16πB．20πC．283D．24π4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成45角，则此长方体的外接球表面积为（）A．4B．6C．12D．245．（2021·全国·高三期末（文））如图，在直三棱柱111 ABCABC的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且33AD．若该三棱柱的外接球O的表面积为12，则1AA（）A．2B．2C．5D．226．（2021·全国·高三专题练习）已知三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，且ABD△和BCD△都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4B．163C．8D．2037．（2021·全国·高三专题练习）四面体ABCD中，AB底面BCD，2ABBD，1CBCD，则四面体ABCD的外接球表面积为（）A．3B．4C．6D．128．（2021·全国·高三专题练习）已知直三棱柱111ABCABC的顶点都在球O上，且4AB，16AA，30ACB，则此直三棱柱的外接球O的表面积是（）A．25πB．50πC．100πD．500π39．（2020·内蒙古赤峰·高三阶段练习（文））据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA底面ABC，ABBC，且2PAABBC，三棱锥外接球表面积为（）A．4B．8C．12D．1610．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱锥PABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（）A．2563B．823C．323D．3611．（2019·江西省抚州市第一中学高三期末（文））在三棱锥ABCD中，AB面BCD，5AB，52AD，4BC，3CD，则三棱锥ABCD的外接球表面积是A．50B．48C．163D．2412．（2020·全国·高三专题练习（理））在长方体1111ABCDABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，1DB与DC所成的角是60，则长方体的外接球表面积是A．16B．8C．4D．42π13．（2019·安徽安庆·高三期末（理））正三棱柱111ABCABC中，底面边长3AB，侧棱长12AA，则该棱柱的外接球表面积等于A．20B．24C．8D．1214．（2014·全国·一模（文））正方体内切球和外接球半径的比为A．B．C．D．1:215．（2016·河北武邑·高三期末（理））正三角形的边长为，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体外接球表面积为A．B．C．D．16．（2016·云南玉溪·三模（文））已知三棱锥ABCD的外接球为球O，球O的直径2AD，且,ABCBCD都是等边三角形，则三棱锥ABCD的体积是A．13B．24C．23D．1217．（2021·山西运城·高三开学考试（文））在三棱锥ABCD中，2ABCD，3ADBC，3ACBD，则三棱锥ABCD外接球的表面积为（）A．11B．11C．22D．4418．（2021·全国全国·模拟预测）若一个圆柱的内切球（与圆柱的两底面以及每条母线均相切）的表面积为4π，则这个圆柱的体积为（）A．πB．2C．2πD．2π319．（2021·全国·高三专题练习（文））如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．12B．2C．32D．4320．（2022·全国·高三专题练习）蹴鞠(如图所示)，又名蹴球､蹴圆､筑球､踢圆等，蹴有用脚蹴､踢的含义，鞠最早系外包皮革､内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴､塌､踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠内切于三棱锥SABC，SA面ABC，ABBC，4SA，3AB，4BC，则该蹴鞠的体积为（）A．4141π6B．9π16C．9π4D．4π21．（2021·天津市新华中学高三阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是323，则该正方体的表面积为（）A．16B．36C．96D．21622．（2022·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．23．（2022·上海·高三专题练习）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）A．1222B．212C．12D．2224．（2022·上海·高三专题练习）如图，RtOAB△是OAB的斜二测直观图，其中OBBA，斜边2OA，则OAB的面积是（）A．22B．1C．2D．2225．（2022·全国·高三专题练习）已知三条不同的直线,,lmn和两个不同的平面，，则下列四个命题正确的是（）A．若//m，//n，则//mnB．若//ml，m，则//lC．若//l，l//，则//D．若//l，l，则26．（2022·全国·高三专题练习）若a､b､c是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．若////abc，则a､b､c共面B．若a､b､c过同一点，则a､b､c共面C．若,acbc，则//abD．若//,abac，则bc27．（2022·全国·高三专题练习）设,,为不重合的平面，,mn为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（）①,，则//；②,,nmn，则m；③,mn，mn，则；④,,m，则mA．①③B．②③C．②④D．③④28．（2022·全国·高三专题练习）设l是一条直线，，是两个平面，下列结论正确的是（）A．若//l，//l，则//B．若，//l，则lC．若//l，l，则D．若，l，则//l29．（2022·全国·高三专题练习）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线30．（2022·全国·高三专题练习）底面为正三角形的直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝8，AA1＝6，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直