第24讲 平行垂直问题（原卷版）

第24讲平行垂直问题【知识点总结】1.证明空间中直线、平面的平行关系（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质（）；⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；平行线垂直平面的传递性（∥）；⑤面面垂直的性质（）.,abab,acabbc,,,,abaccbbcPa,,,babaa,abab,,ll（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（）.【典型例题】例1．（2021·四川省广安代市中学校高二阶段练习（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD.（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥C-PBD的体积.例2．（2021·海南·海港学校高三阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，PC平面PAD，AB∥CD，=22CDABBC，M，N分别是棱PACD、的中点．（1）求证：PC∥平面BMN.（2）求证：平面BMN⊥平面PAC.例3．（2021·广西河池·高一阶段练习）如图，四边形ABED为梯形，//BEAD，22ADBEAB，PA平面ABED，M为AD中点,aa（1）求证：平面PAE⊥平面PBM（2）探究在PD上是否存在点G，使得//EG平面PAB，若存在求出G点，若不存在说明理由．例4．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）如图，已知在长方体1111ABCDABCD中，O，F，G分别为BD，11AD，11CD的中点，E为线段1BB上非端点的动点，且2ABAD，14AA，设而EFG与底面ABCD的交线为直线l，（1）证明：//lFG；（2）当114BEBB时，证明：OE为平面EFG的一条垂线.【技能提升训练】1．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD平面PBC于直线l.（1）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论；（2）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论.2．（2021·江苏·南京市中华中学高一期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，,,NMQ分别为PB，PD，PC的中点.（1）求证：//QN平面PAD；（2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明.3．（2020·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（文））如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB，点F是PB的中点，点E在边BC上运动.（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.4．（2021·贵州·高二学业考试）如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为1DD的中点.（1）求证：AC平面1DDB；（2）判断1BD与平面AEC的位置关系，并说明理由.5．（2021·四川自贡·三模（文））如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平面图形，其中AB＝AE＝DF＝2，将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如图2．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由．6．（2021·江苏·高一专题练习）如图，已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，90BAC，M、N分别是11AB、BC的中点．（1）证明：1ABAC；（2）判断直线MN和平面11ACCA的位置关系，并加以证明．7．（2021·全国·高二专题练习）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点.判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由.8．（2021·四川·石室中学高三期末（文））如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BCCEFFFD.沿BE，AF，将CBE△和DAF△折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）.（1）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（2）若平面DFA平面CEBl，证明l平面ABEF.9．（2020·北京·高一期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60DAB，PD平面ABCD，3PDAD，2PMMD，2ANNB.（1）求证：直线//AM平面PNC；（2）在AB上是否存在一点E，使CD平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；（3）求三棱锥CPDA的体积.10．（2020·福建·高二学业考试）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且3AD，2PDCD．（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若,EF分别是棱,PCAB的中点，则EF与平面PAD的位置关系是______，在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由．①EF平面PAD；②//EF平面PAD；③EF与平面PAD相交．11．（2021·广东·佛山一中高二期中）如图甲，直角梯形ABCD中，ABAD，//ADBC，F为AD中点，E在BC上，且//EFAB，已知2ABADCE，现沿EF把四边形CDFE折起（如图乙），使平面CDFE平面ABEF.（1）求证：//AD平面BCE；（2）求证：平面ABC平面BCE.12．（2022·上海长宁·高二期末）在矩形ABCD中，E是BC的中点，H是AD上，AEBHG，且AEBH，如图，将AEB△沿AE折起至AEF：（1）指出二面角FAED的平面角，并说明理由；（2）若FHGH，求证：平面FAD平面AECD；（3）若L是线段DF的中点，求证：直线LC平面AEF；13．（2021·辽宁大连·高三学业考试）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，2PAAC，PA平面ABC，E、F分别为PD、BC的中点.（1）求三棱锥PABD的体积；（2）证明：//EF平面PAB.14．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”PABCD中，侧棱PD底面ABCD，PDDA，点E是PA的中点，作EFPB交PB于点F.（1）求证：PC∥平面EBD；（2）求证：PB平面EFD.15．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E为线段BC的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAD；（2）在线段BD上是否存在点F，使得EF//平面PCD？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；（3）若AB=1，DC=2，PA=2，求四棱锥P—ABCD的体积．16．（2021·全国·高二单元测试）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得//MC平面PBD，说明理由.17．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高二阶段练习）如图，直三棱柱111ABCABC中，ABAC，1CHHC．（1）求证：1ABAC；（2）在棱11AB上是否存在点K，使得//HK平面1ABC？若存在，求出111:AKAB的值；若不存在，请说明理由．18．（2021·宁夏·银川市第六中学高二阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，//ABDC，DCAC.（1）求证：DC平面PAC.（2）求证：平面PAB平面PAC.（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得//PA平面CEF？说明理由.19．（2021·陕西·西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，Q分别PA，PB，PC的中点，平面PBC平面APDl．（1）证明平面//MNQ平面ABCD；（2）求证：//lBC．20．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，DC//AB，ABBC，12DCCBAB，平面PAD平面ABCD，PAPD，E，Q分别为AB，AP的中点．（1）求证：平面//QED平面PBC；（2）求证：平面PBD平面PAD．21．（2021·山西吕梁·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD直角梯形，ADBC∥，ADAB，ABP△是等边三角形，且2ABBC，4AD.（1）设平面PBC平面PADl，求证：l∥平面ABCD；（2）若CDPC，求证：平面PAC平面ABCD.22．（2021·全国·高一单元测试）如图所示，已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形，ABEF∥，AFBF，平面ABEF平面ABCD，O，M分别为AB，FC的中点．（1）求证：AFFC；（2）求证：OM∥平面DAF；（3）若过EF的平面交BC于点G，交AD于点H，求证：EFGH∥．23．（2020·广东揭东·高一期末）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，60BAD，2AB，6PD，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（1）证明：AC平面PBD；（2）若//PD平面EAC，求三棱锥PEAD的体积.24．（2021·全国·高一课时练习）在三棱柱111ABCABC中，（1）若,,,EFGH分别是1111,,,ABACABAC的中点，求证：平面1EFA//平面BCHG.（2）若点1,DD分别是11,ACAC上的点，且平面1//BCD平面11ABD，试求ADDC的值．25．（2021·上海浦东新·高二期中）已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：//MN平面PAD.26．（2021·全国·高一课前预习）如图，平面ABCD平面AEBF，四边形ABCD为矩形，ABE△和ABF均为等腰直角三角形，且90BAFAEBo.（1）求证：平面BCE平面ADE；（2）若点G为线段FC上任意一点，求证：//BG平面ADE.27．（2021·全国·高二课时练习）如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，12ACBCCC，点D，E，F分别为棱11AC，11BC，1BB的中点．求证：(1)1AC∥平面DEF；(2)平面1ACB平面DEF．28．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱台1111ABCDABCD中，底面ABCD为直角梯形，//ABCD，ABBC，1112224ABBCCDDDDC，P为棱1CC的中点，证明：//AC平面1BDP.29．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF中，BDEF是矩形，ABCD是正方形，点M为AE的中点