第28讲 排列组合（解析版）

第28讲排列组合【知识点总结】1.分类加法计数原理○1有n类方法完成一件事○2任两类无公共方法（互斥）共有○3每类中每法可单独做好这件事12nNmmm种不同方法.2.分步乘法计数原理○1必须走完n步，才能完成任务完成一件事○2前一步怎么走对后一步怎么共有走无影响（独立）12nNmmm种不同方法.3.排列与排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个（不同）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中选取m个元素(n≥m)的排列个数共有Amn.4.组合与组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个(不同)元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数共有Cmn.A(1)(2)(1)!CA!!()!mmnnmmnnnnmnmmnm【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（）A．55A种B．22A种C．2242AA种D．11222222CCAA种【答案】D【详解】红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有11222222CCAA种摆放方法．故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）A．240种B．300种C．360种D．420种【答案】D【详解】先放A，共有5种选择，若B、D选则同一种花，有四种选择，剩下的C、E均有三种选择，共5433180种，若B、D选则不同种花，有24A种选择，剩下的C、E均有两种选择，共245A22240种，故共有180+240=420种.故选：D.例3．（2022·全国·高三专题练习）有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有()A．66种B．60种C．36种D．24种【答案】B【详解】首先对五名学生全排列，则共有55120A种情况，又因为只有甲在乙的左边或右边两种情况，所以甲不排在乙的左边的不同的站法共有55602A种情况.故选：B例4．（2022·全国·高三专题练习）永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为（）A．480B．240C．384D．1440【答案】A【详解】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有4424A种排法；第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有2520A种插法；所以共有2420480种不同的安排方法.故选：A例5．（2022·全国·高三专题练习）疫情期间，有6名同学去社区做防疫志愿者，根据需要，要安排这6名同学去甲､乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，则不同的安排方法共有()A．10种B．20种C．50种D．70种【答案】C【详解】根据题意，分2种情况，(1)①将6人分为人数为2和4的2组，有2615C种分组方法，②将分好的2组全排列，安排到2个核酸点，有222A种情况，则有15230种不同的安排方法；(2)①将6人分为人数为3和3的2组，有362210CA种分组方法，②将分好的2组全排列，安排到2个核酸点，有222A种情况，则有10220种不同的安排方法；∴不同的安排方法有302050，故选：C．例6．（2022·全国·高三专题练习）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班级的概率为（）A．16B．13C．23D．14【答案】B【详解】将甲、乙、丙、丁4名同学分到,,ABC三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则将甲、乙、丙、丁4名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有114322CCA种方法，分配给,,ABC三个班级的所有方法有113433224332362CCAA种；甲被分到A班，有两种情况：甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有12326CA种；二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有12326CA种；综上可知，甲被分到A班的概率为661363.故选：B.例7．（2022·全国·高三专题练习）从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）A．10B．20C．540D．1080【答案】A【详解】从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，即6个志愿者名额分到3个小区，每个小区至少1个，等价于6个相同的小球分成3组，每组至少1个，将6个小球排成一排，除去两端共有5个空，从中任取2个插入挡板，共有2510C（种）方法，即从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，不同的选取方案数为10.故选：A例8．（2022·全国·高三专题练习（理））将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种【答案】D【详解】依题意，将4本不同的书任取2本为1份，余下两本各1份，分成3份有24C种分法，再将分得的3份送给甲、乙、丙三位同学，每人1份有33A种送法，由分步计数乘法原理得：234336CA，所以每位同学都分到书的分法有36种.故选：D例9．（2022·全国·高三专题练习（理））10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．【答案】420【详解】可从后排7人中任取2人，插入前排，调整方法数为22217424()420CAAC．故答案为：420．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（）A．28种B．30种C．27种D．29种【答案】A【分析】依题意可得有2人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，则选派的方案有四类：①选派两种球都会的两人；②从两种球都会的选1人踢足球，再从只会打篮球的选1人；③从两种球都会的选1人打篮球，再从只会踢足球的选1人；④选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球；按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；【详解】解：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有5692人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有236（种）方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有248（种）方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有3412（种）方案.综上可知，共有2681228（种）方案，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（）A．26B．60C．18D．1080【答案】A【分析】按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：由分类加法计数原理知有5123626（种）不同走法.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）某班班干部有4名男生和5名女生组成，从9人中选1人参加某项活动，则不同的选法共有（）A．4种B．5种C．9种D．20种【答案】C【分析】分两类：从男生中选和从女生中选，根据分类加法计数原理可得总的选法数量﹒【详解】分两类：一类从男生中选，有4种方法；一类从女生中选，有5种方法；用加法原理共有4＋5＝9种方法．故选：C．4．（2022·全国·高三专题练习）已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为（）A．32B．23C．43D．24【答案】B【分析】由于每上一层楼有2种走法，所以由分步乘法原理可求得答案【详解】根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）A．180种B．360种C．720种D．960种【答案】D【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有53444960（种）.故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有（）A．64种B．46种C．24种D．360种【答案】B【分析】对于每一位乘客都有4种下车可能，即可求6位乘客的可能下车情况数.【详解】由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46种，故选：B．7．（2022·浙江·高三专题练习）在某校举行一次阅读分享活动中，需从4名男生和3名女生中任选4人参加，若这4人必须既有男生又有女生，则不同的选法的种数是（）A．60B．120C．35D．34【答案】D【分析】这4人必须既有男生又有女生分为3类，然后根据分步计数原理以及组合数分别求出结果，再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】这4人必须既有男生又有女生分为3类，（1）1男生3女生，共有13434CC种，（2）2男生2女生，共有224318CC种，（3）3男生1女生，共有314312CC种，根据分类计数原理，共有4181234种，故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为A．24种B．48种C．72种D．96种【答案】C【详解】试题分析：按照先A再BD最后CE的顺序，分两种情况涂色，1：BD同色，有1143448CC;2：BD不同色，有1243124482472CA种考点：1.分步计数原理；2.分情况讨论9．（2021·福建·三模）《周髀算经》是中国最古老的天文学､数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（）A．36B．48C．72D．96【答案】C【分析】根据题意，分2步依次分析区域ABE和区域CD的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①对于区域ABE，三个区域两两相邻，有3424A种涂色的方法，②对于区域CD，若C区域与A颜色相同，D区域有2种选法，若C区域与A颜色不同，则C区域有1种选法，D区域也只有1种选法，则区域CD有213种涂色的方法，则有24372种涂色的方法，故选：C.10．（2021·陕西·西安市经开第一中学模拟预测（理））用5种不同颜色给图中5个车站的候车牌(