第29讲 二项式定理（原卷版）

第29讲二项式定理【知识点总结】一、二项式定理nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100*Nn.展开式具有以下特点：（1）项数：共1n项.（2）二项式系数：依次为组合数nnnnnCCCC，,,,210.（3）每一项的次数是一样的，都为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开.特别地，nnnnnnxCxCxCx22111.二、二项式展开式的通项（第1r项）二项式展开的通项为rrnrnrbaCT1.,,3,2,1,0nr.其中rnC的二项式系数.令变量（常用x）取1，可得1rT的系数.注通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点：①分清rrnrnbaC是第1r项，而不是第r项；②在通项公式rrnrnrbaCT1中，含nrbaCTrnr,,,,,1这6个参数，只有nrba,,,是独立的，在未知nr,的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n和r.三、二项式展开式中的系数（1）二项式系数与项的系数二项式系数仅指nnnnnCCCC，,,,210而言，不包括字母ba,所表示的式子中的系数.例如：nx2的展开式中，含有rx的项应该是nrnrnrxCT21，其中rnC叫做该项的二项式系数，而rx的系数应该是rnrnC2（即含rx项的系数）.（2）二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即22110,,nnnnnnnnnCCCCCC，…，rnnrnCC.②二项展开式中间项的二项式系数最大.如果二项式的幂指数n是偶数，中间项是第12n项，其二项式系数nnC2最大；如果二项式的幂指数n是奇数，中间项有两项，即为第21n项和第121n项，它们的二项式系数21nnC和21nnC相等并且最大.（3）二项式系数和与系数和①二项式系数和011+12nnnnnnCCC（）.奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，02413512nnnnnnnCCCCCC即.②系数和求所有项系数和，令1x；求变号系数和，令1x；求常数项，令0x。【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）521xx的展开式中，x的系数为（）A．8B．9C．10D．20（多选题）例2.（2022·全国·高三专题练习）若20212320210123202112xaaxaxaxaxxR，则（）A．01aB．20211352021312aaaaC．20210242020312aaaaD．123202123202112222aaaa例3．（2022·全国·高三专题练习）若512axxxx的展开式中各项系数的和为0，则该展开式的常数项为___________.例4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知223nxx的展开式的二项式系数和比(31)nx的展开式的二项式系数和大992，则在212nxx的展开式中，二项式系数最大的项为________．例5．（2022·全国·高三专题练习）11223310101010101010190C90C90C190C90Ckkk除以88的余数是____．2设复数2i1ix(i是虚数单位)，则12233201920192019201920192019CCCCxxxx____．例6．（2022·全国·高三专题练习）求3451920(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中含3x的项．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））242yxxyx的展开式中23xy项的系数为（）A．24B．40C．24D．302．（2022·全国·高三专题练习）4221xxx的展开式中x项的系数为（）A．9B．5C．7D．83．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知0a，二项式6322axxx的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（）A．66B．36C．30D．64．（2022·全国·高三专题练习（理））8312xx的展开式中的中间项为（）A．358B．83358xC．7D．437x5．（2022·全国·高三专题练习）62axx展开式中的常数项为－160，则a＝（）A．－1B．1C．±1D．26．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)nx＋的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．512B．210C．211D．2127．（2022·全国·高三专题练习）53(2)x的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A．1B．20C．21D．318．（2022·全国·高三专题练习）若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为（）A．－4B．52C．4D．729．（2022·全国·高三专题练习（理））62()yxyx的展开式中42xy的系数为（）A．36B．24C．24D．3610．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习（理））已知0m，且202115m恰能被14整除，则m的取值可以是（）A．1B．3C．7D．1311．（2021·全国·高三专题练习）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过20218天后是（）A．星期二B．星期三C．星期四D．星期五12．（2021·全国·高三专题练习（理））在QBasic等程序语言中，通常用modab表示a除以b后得到的余数，例如10mod31，28mod53．则20227mod10等于（）A．1B．3C．9D．713．（2021·河南驻马店·高三阶段练习（理））若6260126(1)mxaaxaxax，且12663aaa,则实数m的值为A．1或3B．-3C．1D．1或-3二、多选题14．（2022·江苏·高三专题练习）已知12nxx的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为63B．二项展开式中二项式系数最大的项为32160xC．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为390x15．（2022·全国·模拟预测）下列关于多项式5122xx的展开式的结论中，正确的是（）A．各项系数之和为1B．各项系数的绝对值之和为1C．不存在4x项D．常数项为4816．（2022·全国·高三专题练习）设6260126(21)(1)(1)(1)xaaxaxax，下列结论正确的是（）A．601256343aaaaaaaB．23100aaC．415623,,,,,aaaaaa中最大的是2aD．当999x时，6(21)x除以2000的余数是117．（2021·广东·高三阶段练习）已知7270127(32)(1)(1)(1)xaaxaxax，则下列结论正确的是（）A．01aB．1271aaaC．7012673aaaaaD．67a18．（2022·全国·高三专题练习）已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）A．7B．8C．9D．1019．（2022·全国·高三专题练习）在712xx的展开式中，下列说法正确的有（）A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第4项D．有理项共3项20．（2022·全国·高三专题练习）已知202122021012202112xaaxaxax，下列命题中，正确的是（）A．展开式中所有项的二项式系数的和为20212；B．展开式中所有奇次项系数的和为2021312；C．展开式中所有偶次项系数的和为2021312；D．320211223202112222aaaa.21．（2022·全国·高三专题练习）若(1＋mx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8且a1＋a2＋…＋a8＝255，则实数m的值为（）A．1B．－1C．－3D．3三、填空题22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知二项式1nxx的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项是_______．(用数字作答)23．（2022·浙江·高三专题练习）若二项式1nxx*nN的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是___________.24．（2022·天津南开·高三期末）二项式831()2xx的展开式中，常数项是________.25．（2022·全国·高三专题练习）若512axxxx的展开式中各项系数的和为0，则该展开式的常数项为___________.26．（2022·全国·高三专题练习）62xyz的展开式中23xyz的系数是___________．27．（2022·全国·高三专题练习（理））若在101xx的展开式中第k项的二项式系数最大，则12kxx的展开式中，常数项是___________.28．（2022·全国·高三专题练习）若3naxnNx的展开式中，含4x的项是第四项，则展开式中的二项式系数和为______．29．（2021·全国·高三开学考试（理））512axxxx的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x的系数为___________.30．（2021·江苏·盐城中学一模）若10521001210(1)(1)(1)xxaaxaxax，则5a__________．31．（2022·全国·高三专题练习）已知（x-3y）n的展开式中，第5项的二项式系数与第12项的二项式系数相等，则展开式共有___________项.32．（2021·福建·上杭一中模拟预测）12233101010101010190909090CCCC除以88的余数是______．33．（2021·福建三明·模拟预测）设nN且5n，若20216n能被5整除，则n等于___________.34．（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据100.98的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.四、解答题35．（2022·全国·高三专题练习）在(2x－3y)10的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和.36．（2022·全国·高三专题练习）设887871031xaxaxaxa，求：（1）871aaa；（2）876543210aaaaaaaaa；（3）86420aaaaa．37．（2022·全国·高三专题练习）已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：（1）a0＋a1＋a2＋…＋a5；（2）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；（3）a1＋a3＋a5.五、双空题38．（2022·全国·高三专题练习）已知12nx的展开式的二项式系数之和为16，则n__________；4x的系数为__________(．用数字作答)．39．（2022·全国·高三专题练习）二项式61xx的展开式中，常数项为_________