第32讲 概率与统计综合问题（原卷版）

第32讲概率与统计综合问题1．（2022·全国·高三专题练习（理））2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量(单位kg)的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg.称重后计算得出这40条鱼质量(单位kg)的平方和为117.附：（1）数据1t，2t，…nt的方差22221111nniiiistttntnn，（2）若随机变量X服从正态分布2,N，则()0.6827PX；(22)0.9545PX；(33)0.9973PX.（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数z和方差2s；（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量X服从正态分布2,N，用z作为的估计值，用2s作为2的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21,2.71]的概率是多少？（3）某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼儿质量在[1.21,2.71]的条数，利用（2）的结果，求的数学期望.2．（2022·全国·模拟预测）交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过,AB两段路，若已知A路段共要过4个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为13，遇到绿灯的概率为23，在B路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为113P，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为23，遇到绿灯的概率为13；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为13，遇到绿灯的概率为23，记B段线路中第n个交通岗遇到红灯的概率为*,nPnN.（1）求该司机在A路段的行驶过程中遇到红灯次数X的分布列与期望；（2）①求该司机在B路段行驶过程中第n个交通岗遇到红灯的概率nP的通项公式；②试判断在最后离开B路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于12，还是小于12，请用数据说明.3．（2022·全国·模拟预测）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用;第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化;之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实.现在，5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y(单位:百万元)关于月份x的数据如表:时间(月份)123456收入(百万元)6.68.616.121.633.0410.根据以上数据绘制散点图，如图.（1）根据散点图判断，yaxb与,,,(dxyceabcd均为常数)哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；（3）从前6个月的收入中抽取3个﹐记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据:xyu621iixx61iiixxyy61iiixxuu3.5021.152.8517.50125.356.73其中设ln,ln1,2,3,4,5,6iiuyuyi参考公式和数据:对于一组具有线性相关关系的数据1,2,,3,,iixvin，其回归直线vx的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121ˆniiiniixxvvxx，4.564.58,95.58,97.51.avxee4．（2022·全国·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为(01)pp，它们之间相互不影响.（1）当0.9p时，求能正常工作的设备数X的分布列和数学期望；（2）已知深圳某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？5．（2022·全国·高三专题练习）某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈(300，600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：美团外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x(单)131416171820天数2612622表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y(单)111314151618天数4512351（1）设美团外卖配送员月工资为f(X)，饿了么外卖配送员月工资为g(Y)，当X＝Y∈(300，600]时，比较f(X)与g(Y)的大小关系；（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．6．（2022·全国·高三专题练习）2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；（3）转化为百分制后，规定成绩在[90，100]的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为，记B等级的人数为k的概率为()Pk，写出()Pk的表达式，并求出当k为何值时，()Pk最大？7．（2022·全国·高三专题练习）某学校组建了由2名男选手和n名女选手组成的“汉字听写大会”集训队，每次参赛均从集训队中任意选派2名选手参加省队选拔赛．（1）若n＝2，记某次选派中被选中的男生人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布和数学期望；（2）若n≥2，该校要参加三次“汉字听写大会”，每次从集训队中选2名选手参赛，求n为何值时，三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值．8．（2022·全国·高三专题练习）女排精神是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括．其具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀髙峰．甲、乙两支女子排球队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，各局比赛的结果相互独立．（1）求乙队获胜的概率；（2）设比赛结束时甲队和乙队共进行了X局比赛，求随机变量X的分布列及数学期望．9．（2022·全国·高三专题练习（理））1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率．10．（2022·全国·高三专题练习）某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为34，23，45，在实验操作考试中“合格”的概率依次为23，56，34，所有考试是否合格相互之间没有影响（1）甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大；（2）这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．11．（2022·全国·高三专题练习）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进n吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润．（1）求变量X概率分布列；（2）当19n时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断19n与18n应选用哪一个．12．（2022·全国·高三专题练习）假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.（1）现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；（2）在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分布列，并求EX.13．（2022·全国·高三专题练习）2020年是比较特殊的一年，延期一个月进行的高考在万众瞩目下顺利举行并安全结束.在备考期间，某教育考试研究机构举办了多次的跨地域性的联考，在最后一次大型联考结束后，经统计分析发现，学生的模拟测试成绩X服从正态分布2550,N（满分为750分）.已知(450)0.1PX，(600)0.3PX.现在从参加联考的学生名单库中，随机抽取4名学生.（1）求抽到的4名学生中，恰好有2名学生的成绩落在区间[500,600]内，2名学生的成绩落在区间[650,750]内的概率；（2）用表示抽取的4名同学的成绩落在区间[500,600]内的人数，求的分布列和数学期望()E.14．（2022·全国·高三专题练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为A，B，C三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：工种类别ABC赔付概率511052104110对于A