第32讲 概率与统计综合问题（解析版）

第32讲概率与统计综合问题1．（2022·全国·高三专题练习（理））2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量(单位kg)的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg.称重后计算得出这40条鱼质量(单位kg)的平方和为117.附：（1）数据1t，2t，…nt的方差22221111nniiiistttntnn，（2）若随机变量X服从正态分布2,N，则()0.6827PX；(22)0.9545PX；(33)0.9973PX.（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数z和方差2s；（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量X服从正态分布2,N，用z作为的估计值，用2s作为2的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21,2.71]的概率是多少？（3）某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼儿质量在[1.21,2.71]的条数，利用（2）的结果，求的数学期望.【答案】（1）1.71z，20.25s（2）0.8186（3）4093【分析】（1）利用平均数及方差公式直接得解；（2）由题知~1.71,0.25XN，结合参考数据即可得解；（3）利用二项分布期望公式直接得解.（1）105661.716040z，22200.411171.710.25100s.（2）该鱼塘鱼儿质量2~,XN，其中1.71，20.25，所以(1.212.71)(2)PXPX.()(22)0.68270.95450.818622PXPX（3）由题意可知~(5000,0.8186)B，所以的数学期望为50000.81864093E.2．（2022·全国·模拟预测）交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线路的行驶过程要经过,AB两段路，若已知A路段共要过4个交通岗，且经过交通岗时遇到红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为13，遇到绿灯的概率为23，在B路段的行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为113P，且上一交通岗遇到红灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为23，遇到绿灯的概率为13；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇到红灯的概率为13，遇到绿灯的概率为23，记B段线路中第n个交通岗遇到红灯的概率为*,nPnN.（1）求该司机在A路段的行驶过程中遇到红灯次数X的分布列与期望；（2）①求该司机在B路段行驶过程中第n个交通岗遇到红灯的概率nP的通项公式；②试判断在最后离开B路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于12，还是小于12，请用数据说明.【答案】（1）分布列见解析，43（2）①1131126nnP；②小于12，理由见解析【分析】（1）由题意143XB，，X的取值可能为0,1,2,3,4,由二项分布概率公式计算出概率，得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望；（2）①由已知条件得出{}nP的递推关系，变形凑配出等比数列，由此可得通项公式；②由通项公式可得其值与12的大小关系．（1）由题可知X的取值可能为0,1,2,3,4,且易知143XB，，且44120,1,2,3,433kkkPXkCk，所以04404412216033381PXC133144124232133381PXC22224412628233327PXC3134412428333381PXC404441211433381PXC所以X的分布列为X01234P1681328182788118114433EXnp；（2）①由题可知1211113333nnnnPPPP，即111(232)1nnPP又因为113P，所以11126P，所以1{}2nP是首项为16，公比为13的等比数列，所以1111263nnP，即1131126nnP；②由①可知，1*11,326211nnnNP，所以最后一个交通岗遇到红灯的概率小于12.3．（2022·全国·模拟预测）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用;第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化;之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”“顺风耳”变为现实.现在，5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y(单位:百万元)关于月份x的数据如表:时间(月份)123456收入(百万元)6.68.616.121.633.0410.根据以上数据绘制散点图，如图.（1）根据散点图判断，yaxb与,,,(dxyceabcd均为常数)哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；（3）从前6个月的收入中抽取3个﹐记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据:xyu621iixx61iiixxyy61iiixxuu3.5021.152.8517.50125.356.73其中设ln,ln1,2,3,4,5,6iiuyuyi参考公式和数据:对于一组具有线性相关关系的数据1,2,,3,,iixvin，其回归直线vx的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:121ˆniiiniixxvvxx，4.564.58,95.58,97.51.avxee【答案】（1）exycd；（2）1.520.38eˆxy，95.58百万元；（3）分布列见解析，2.【分析】（1）根据散点图的分布即可得到答案；（2）根据题意，lnlnycdx，然后根据参考数据求出方程，进而得到y关于x的回归方程，最后将8x代入方程即可得到答案；（3）根据超几何分布求概率的方法求得概率，然后列出分布列，最后根据期望公式求出期望.（1）根据散点图判断，exycd适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型.（2）因为edxyc，所以两边同时取常用对数﹐得lnlnycdx，设lnuy，所以lnucdx，又因为1234563.50,2.856xu，所以61621ˆ6.730.3817.50iiiiixxuudxx，ln0.382.850.383.501.52cux，所以ln1.520.38yx，即1.520.38eˆxy，令8x，得1.520.3884.56ee95.58y，故预测该公司8月份的5G经济收入为95.58百万元.（3）前6个月的收入中，月收入超过16百万的有4个，所以X的取值为1,2,3，212436CC11C5PX，122436CC32C5PX，3436C13C5PX，所以X的分布列为X123P153515所以1311232555EX.4．（2022·全国·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为(01)pp，它们之间相互不影响.（1）当0.9p时，求能正常工作的设备数X的分布列和数学期望；（2）已知深圳某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：2.7（2）从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2【分析】(1)由题意可知3,0.9XB，即得；(2)分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策.（1）X为正常工作的设备数，由题意可知3,0.9XB.003300.9(10.9)0.001PXC，112310.9(10.9)0.027PXC，22320.910.90.243PXC，330330.9(10.9)0.729PXC，从而X的分布列为X0123P0.0010.0270.2430.729由3,0.9XB，则30.92.7EX；（2）设方案1､方案2的总损失分别为12,XX，采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由（1）可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999，故1800000.00150000080500EX元；采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，可知计算机网络断掉的概率为00330.8(10.8)0.008C，故2500000.00850000054000.EX元因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2.5．（2022·全国·高三专题练习）某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若X∈[1，300]，每单提成3元，若X∈(300，600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1，400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：美团外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x(单)131416171820天数2612622表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y(单)111314151618天数4512351（1）设美团外卖配送员月工资为f(X)，饿了么外卖配送员月工资为g(Y)，当X＝Y∈(300，600]时，比较f(X)与g(Y)的大小关系；（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）①16，14；②小王应选择做饿了么外卖配送员，理由见解析【分析】（1）根据题意分段讨论可求；（2）①根据题中数据求出分布列，即可求出均值；②求出平均工资比较可得.（1）因为X＝Y∈(300，600]，所以g(X)＝g(Y)，当X∈(300，400]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－