第34讲 圆的方程（原卷版）

第34讲圆的方程【知识点总结】一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.二、基本性质、定理与公式1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()xaybr，圆心坐标为(a,b)，半径为(0)rr（2）圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF，圆心坐标为,22DE，半径2242DEFr（3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)AxyBxy，则以线段AB为直径的圆的方程是1212()()()()0xxxxyyyy（4）圆的参数方程：①222(0)xyrr的参数方程为cossinxryr（为参数）；②222()()(0)xaybrr的参数方程为cossinxarybr（为参数）.注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos,sin)arbr（为参数，(a,b)为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点00(,)Pxy与圆222()()xaybr的位置关系：①222()()xaybr点P在圆外；②222()()xaybr点P在圆上；③222()()xaybr点P在圆内.（2）点00(,)Pxy与圆220xyDxEyF的位置关系：①2200000xyDxEyF点P在圆外；②2200000xyDxEyF点P在圆上；③2200000xyDxEyF点P在圆内.三、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交四、直线与圆的位置关系判断1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)ab到直线0AxByC的距离，则22||AaBbCdAB：则dr直线与圆相交，交于两点,PQ，22||2PQrd；dr直线与圆相切；dr直线与圆相离2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()AxByCxaybr，消元得到一元二次方程20pxqxt，20pxqxt判别式为，则：则0直线与圆相交；0直线与圆相切；0直线与圆相离.五、两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,OO的半径分别是,Rr，（不妨设Rr），且两圆的圆心距为d，则：则dRr两圆相交；dRr两圆外切；RrdRr两圆相离dRr两圆内切；0dRr两圆内含（0d时两圆为同心圆）【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知圆C的圆心在直线6yx上，且与直线:10lxy相切于点2,3，则圆C方程为（）A．221618xyB．2218xyC．221618xyD．221612xy例2．（2022·全国·高三专题练习）点P在圆221:1Cxy上，点Q在圆222:3416Cxy上，则（）A．PQ的最小值为0B．两圆公切线有两条C．两个圆心所在的直线斜率为43D．两个圆相交弦所在直线的方程为3450xy例3．（2022·全国·高三专题练习）求圆心在直线0xy上，且过两圆22210240xyxy，22xy2280xy交点的圆的方程．例4．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练习）已知圆C的方程：22240xyxym.（1）求m的取值范围；（2）当圆C过A(1，1)时，求直线:240lxy被圆C所截得的弦MN的长.例5．（2020·江苏·高三专题练习）ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),ABC求它的外接圆的方程．例6．（2020·全国·高三专题练习）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与圆C交于,AB两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.例7．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点(2,2),(2,6),(4,2)ABC，点P在圆22:4Exy上运动.（1）求过点C且被圆E截得的弦长为22的直线方程；（2）求222||||||PAPBPC的最值.例8．（2021·辽宁·沈阳二中高三阶段练习）已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.例9．（2021·全国·高三专题练习）求与圆2248150xyxy切于点(3,6)A，且过点(5,6)B的圆的方程.例10．（2021·全国·高三专题练习（理））已知点(4,0),(2,0)AB，动点P满足||2||PAPB.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）求经过点(2,2)M以及曲线C与224xy交点的圆的方程.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））己知圆C经过A（5，2），B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（）A．（x－2）2+y2=13B．（x+2）2+y2=17C．（x+1）2+y2=40D．（x－1）2+y2=202．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（理））圆22(1)(2)2xy关于直线:10lxy对称的圆的方程为（）A．22(1)(3)2xyB．22(1)(3)2xyC．22(3)(2)2xyD．22(3)(2)2xy3．（2022·全国·高三专题练习（理））若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430xy和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．22211xyB．22211xyC．22211xyD．22311xy4．（2022·全国·高三专题练习）过点1,1A，1,1B，且圆心在直线20xy上的圆的方程是（）A．22114xyB．22314xyC．22314xyD．22114xy5．（2022·全国·高三专题练习）以点(1,1)为圆心，且与直线20xy相切的圆的方程为（）A．22(1)(1)2xyB．22(1)(1)2xyC．22(1)(1)8xyD．22(1)(1)8xy6．（2022·全国·高三专题练习）圆221:1Cxy与圆222:3416Cxy的位置关系为（）A．内含B．外离C．相交D．相切7．（2022·全国·高三专题练习）若直线0xym与圆222xy相切，则m的值为（）A．2B．2C．2D．228．（2022·全国·高三专题练习）直线142xy与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（）A．22420xyxyB．224210xyxyC．224210xyxyD．22240xyxy9．（2022·全国·高三专题练习）222410xyxy与圆224640xyxy的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．（2022·全国·高三专题练习）圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则aA．43B．34C．3D．211．（2022·全国·高三专题练习）若方程222210xyymm表示圆，则实数m的取值范围为（）A．(2,1)B．11,2C．(,0)(1,)D．(0,1)12．（2022·江苏·高三专题练习）若点1,1P在圆22:0Cxyxyk的外部，则实数k的取值范围是（）A．2,B．12,2C．12,2D．2,213．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为2,0,3,23,1,23,ABC4,Da，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（）A．0B．1C．2D．314．（2022·全国·高三专题练习（文））圆心在x轴上，且过点1,3的圆与y轴相切，则该圆的方程是（）A．22100xyyB．22100xyyC．22100xyxD．22100xyx15．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:40lxmy，若圆22:6210Cxyxy上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为（）A．2B．2C．1D．116．（2022·全国·高三专题练习）直线20axyaaR与圆229xy的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定17．（2022·全国·高三专题练习）若过点2,0有两条直线与圆222210xyxym相切，则实数m的取值范围是A．,1B．1,C．1,0D．1,118．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知点P在圆2220xxy上运动，点Q在直线10xy上运动，则PQ的最小值为（）A．21B．2C．21D．2219．（2021·全国·高三专题练习（理））已知圆224410xyxy上的点到直线34150xy的距离的最大值是a，最小值是b，则ab（）A．345B．335C．175D．22520．（2022·上海·高三专题练习）k为任意实数时，直线(1)10kxky被圆22(1)(1)4xy截得的弦长是A．8B．4C．2D．与k有关的值21．（2022·全国·高三专题练习）已知点A的坐标是（-1，0），点M满足|MA|=2，那么M点的轨迹方程是（）A．x2+y2+2x-3=0B．x2+y2-2x-3=0C．x2+y2+2y-3=0D．x2+y2-2y-3=022．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点6,0P，点1,1A，动点C满足0OCPC（O为坐标原点），过A点的直线被动点C的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为（）A．21yxB．21yxC．112yxD．112yx23．（2022·全国·高三专题练习）圆222420xxyy到直线2220xy的距离为1的点有（）A．1个B．2个C．3个D．0个24．（2022·全国·高三专题练习）直线l：10mxym与圆C：22(1)5xy的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定25．（2022·全国·高三专题练习）过点2,3P的直线l与圆222230xyxy相切，则直线l的方程是（）A．2x或280xyB．280xyC．2x或210xyD．210xy26．（2022·全国·高三专题练习）已知圆22:40Cxyx与直线l切于点1,3P，则直线l的方程为（）A．320xyB．340xyC．340xyD．320xy27．（2022·全国·高三专题练习）过点(3,4)P作圆224xy的两条切线，切点分别为A，B，则ABA．53B．52C．2215D．421528．（2022·全国·高三专题练习）已知22:210Cxxy，直线:3lyx，P为l上一个动点，过点P作C的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．1B．2C．2D．629．（2021·江西·高三阶段练习（文））已知圆О的方程为221xy，过圆О外一点,Pab作圆O的两条切线PA，PB，切点分别