第35讲 圆锥曲线基础过关小题（原卷版）

第35讲圆锥曲线基础过关小题【知识点总结】一．椭圆的定义平面内与两个定点12,FF的距离之和等于常数2a（122||aFF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：1212|||||2(2||20)PPFPFaaFFc注明：当22ac时，点的轨迹是线段；当22ac时，点的轨迹不存在.二．椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210yxabab222210yxabab统一方程221(m0,n0,)mxnymn参数方程为参数（）cos,[0,2]sinxayb为参数（）cos,[0,2]sinxayb第一定义到两定点、21FF的距离之和等于常数2a，即21||||2MFMFa（212||aFF）范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长长轴长2a短轴长2b长轴长2a短轴长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()FFccab离心率22222221(01)ccabbeeaaaa点和椭圆的关系外点在椭圆上内2200002211(,)1xyxyab外点在椭圆上内2200002211(,)1yxxyab通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=22ba（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为11(,)Axy，22(,)Bxy,ABkk,则弦长22212121211()4ABkxxkxxxx21212211()4yyyyk21||ka（其中a是消y后关于x的一元二次方程的2x的系数，是判别式）三、双曲线的定义平面内与两个定点12,FF的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为12122(02)MMFMFaaFF.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当122aFF时，点的轨迹是以1F和2F为端点的两条射线；当20a时，点的轨迹是线段12FF的垂直平分线.（3）122aFF时，点的轨迹不存在.在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“122FFa”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a，2b的值），注意222abc的应用.四、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质.标准方程22221(0,0)yxabab22221(0,0)yxabab图形焦点坐标1(,0)Fc，2(,0)Fc1(0,)Fc，2(0,)Fc对称性关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标1(,0)Aa，2(,0)Aa1(0,)Aa，2(0,)Aa范围xaya实轴、虚轴实轴长为2a，虚轴长为2b离心率221(1)cbeeaa渐近线方程令22220yxbyxaab，焦点到渐近线的距离为b令22220yxayxbab，焦点到渐近线的距离为b点和双曲线的位置关系点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)xyyxxyabxy点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)xyyxxyabxy共渐近线的双曲线方程2222(0)yxab2222(0)yxab弦长公式设直线与双曲线两交点为11(,)Axy，22(,)Bxy，ABkk.则弦长212122111(0)ABkxxyykk，21212124xxxxxxa，其中“a”是消“y”后关于“x”的一元二次方程的“2x”系数.A2B1F1xyA1F2B2F1A1yxB1B2F2A2通径通径（过焦点且垂直于12FF的弦）是同支中的最短弦，其长为22ba五、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线()lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.注若在定义中有Fl，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F.六、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：22222,2,2,2(0)ypxypxxpyxpyp，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）表10-3标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形对称轴x轴y轴顶点原点(0,0)焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py三、抛物线中常用的结论1.点00(,)Pxy与抛物线22(0)ypxp的关系（1）P在抛物线内（含焦点）2002ypx.（2）P在抛物线上2002ypx.（3）P在抛物线外2002ypx.2.焦半径抛物线上的点00(,)Pxy与焦点F的距离称为焦半径，若22(0)ypxp，则焦半径02pPFx，max2pPF.3.(0)pp的几何意义p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.yxOFlyxOFlyxOFlFyxOl4.焦点弦若AB为抛物线22(0)ypxp的焦点弦，11(,)Axy，22(,)Bxy，则有以下结论：（1）2124pxx.（2）212yyp.（3）焦点弦长公式1：12ABxxp，12122xxxxp，当12xx时，焦点弦取最小值2p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p.焦点弦长公式2：22sinpAB（为直线AB与对称轴的夹角）.（4）AOB的面积公式：22sinAOBpS（为直线AB与对称轴的夹角）.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．22143yxB．22143xyC．22142xyD．22142yx例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为nC．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±mnxD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线285yx的准线交于A、B两点，||43AB，则C的实轴长为（）A．22B．42C．4D．8（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：222210,0xyabab，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若60MAN，则有（）A．渐近线方程为33yxB．322eC．233eD．渐近线方程为3yx（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（）A．椭圆22143xy的长轴长为4，短轴长为23B．离心率为23的椭圆较离心率为12的椭圆来得扁C．椭圆22134xy的焦点在x轴上且焦距为2D．椭圆22143xy的离心率为12（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆C：22211xymm的一个焦点坐标为0,1，则下列结论中正确的是（）A．2mB．C的长轴长为3C．C的短轴长为2D．C的离心率为33（多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C．点P的横坐标为±1D．△PF1F2的面积为2（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆22194xy有相同的焦距，且一条渐近线方程为20xy，则双曲线C的方程可能为（）A．2214xyB．2214yxC．2214yxD．2214xy例9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线24yx焦点F的直线l交拋物线于,AB两点，若两点的横坐标之和为5，则AB___________.例10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12、FF，若椭圆上的点P满足2PFx轴，122PFPF，则该椭圆的离心率为___________．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知P为椭圆22194yx上一点，若P到一个焦点的距离为1，则P到另一个焦点的距离为（）A．3B．5C．8D．122．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点分别是1F，2F，椭圆上任意一点到1F，2F的距离之和为4，过焦点2F且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB的长为3，则椭圆C的方程为（）A．2213yxB．2213xyC．22143xyD．22132xy3．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC的顶点B，C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）A．23B．6C．4D．434．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆22221(0)xyabab，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得122PFPFb，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．1(0,]2B．1[.1)2C．2(0,]2D．2[,1)25．（2022·全国·高三专题练习）设p是椭圆2212516xy上的点．若12FF，是椭圆的两个焦点，则12PFPF等于A．4B．5C．8D．106．（2022·浙江·高三专题练习）若动点,Mxy始终满足关系式2222(2)(2)8xyxy，则动点M的轨迹方程为（）A．2211612xyB．2211216xyC．2211216xyD．2211612xy7．（2022·全国·高三专题练习）设圆22125xy的圆心为C，点()1,0A是圆内一定点，点Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为（）A．224412125xyB．224412125xyC．224412521xyD．224412521xy8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，过2F的直线与椭圆C交于A，B两点．若1FAB的周长为8，则椭圆方程为（）A．22143xyB．2211612xyC．2212xyD．22142xy9．（2022·全国·高三专题练习）设12,FF是椭圆2211224xy的两个焦点，P是椭圆上一点，且1213cosFPF.则12PFF△的面积为（）A．6B．62C．8D．8210．（2022·浙江·高三专题练习）已知1F､2F是椭圆C：22221xyab(0ab)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且12PFPF.