第35讲 圆锥曲线基础过关小题（解析版）

第35讲圆锥曲线基础过关小题【知识点总结】一．椭圆的定义平面内与两个定点12,FF的距离之和等于常数2a（122||aFF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：1212|||||2(2||20)PPFPFaaFFc注明：当22ac时，点的轨迹是线段；当22ac时，点的轨迹不存在.二．椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210yxabab222210yxabab统一方程221(m0,n0,)mxnymn参数方程为参数（）cos,[0,2]sinxayb为参数（）cos,[0,2]sinxayb第一定义到两定点、21FF的距离之和等于常数2a，即21||||2MFMFa（212||aFF）范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长长轴长2a短轴长2b长轴长2a短轴长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()FFccab离心率22222221(01)ccabbeeaaaa点和椭圆的关系外点在椭圆上内2200002211(,)1xyxyab外点在椭圆上内2200002211(,)1yxxyab通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=22ba（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为11(,)Axy，22(,)Bxy,ABkk,则弦长22212121211()4ABkxxkxxxx21212211()4yyyyk21||ka（其中a是消y后关于x的一元二次方程的2x的系数，是判别式）三、双曲线的定义平面内与两个定点12,FF的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为12122(02)MMFMFaaFF.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当122aFF时，点的轨迹是以1F和2F为端点的两条射线；当20a时，点的轨迹是线段12FF的垂直平分线.（3）122aFF时，点的轨迹不存在.在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“122FFa”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a，2b的值），注意222abc的应用.四、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质.标准方程22221(0,0)yxabab22221(0,0)yxabab图形焦点坐标1(,0)Fc，2(,0)Fc1(0,)Fc，2(0,)Fc对称性关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标1(,0)Aa，2(,0)Aa1(0,)Aa，2(0,)Aa范围xaya实轴、虚轴实轴长为2a，虚轴长为2b离心率221(1)cbeeaa渐近线方程令22220yxbyxaab，焦点到渐近线的距离为b令22220yxayxbab，焦点到渐近线的距离为b点和双曲线的位置关系点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)xyyxxyabxy点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)xyyxxyabxy共渐近线的双曲线方程2222(0)yxab2222(0)yxab弦长公式设直线与双曲线两交点为11(,)Axy，22(,)Bxy，ABkk.则弦长212122111(0)ABkxxyykk，21212124xxxxxxa，其中“a”是消“y”后关于“x”的一元二次方程的“2x”系数.A2B1F1xyA1F2B2F1A1yxB1B2F2A2通径通径（过焦点且垂直于12FF的弦）是同支中的最短弦，其长为22ba五、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线()lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.注若在定义中有Fl，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F.六、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：22222,2,2,2(0)ypxypxxpyxpyp，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）表10-3标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形对称轴x轴y轴顶点原点(0,0)焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py三、抛物线中常用的结论1.点00(,)Pxy与抛物线22(0)ypxp的关系（1）P在抛物线内（含焦点）2002ypx.（2）P在抛物线上2002ypx.（3）P在抛物线外2002ypx.2.焦半径抛物线上的点00(,)Pxy与焦点F的距离称为焦半径，若22(0)ypxp，则焦半径02pPFx，max2pPF.3.(0)pp的几何意义p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.yxOFlyxOFlyxOFlFyxOl4.焦点弦若AB为抛物线22(0)ypxp的焦点弦，11(,)Axy，22(,)Bxy，则有以下结论：（1）2124pxx.（2）212yyp.（3）焦点弦长公式1：12ABxxp，12122xxxxp，当12xx时，焦点弦取最小值2p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p.焦点弦长公式2：22sinpAB（为直线AB与对称轴的夹角）.（4）AOB的面积公式：22sinAOBpS（为直线AB与对称轴的夹角）.【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．22143yxB．22143xyC．22142xyD．22142yx【答案】B【详解】圆C：(x－1)2＋y2＝16，∴2a＝4，即a＝2．由111222cceca，而222413bac，所以椭圆的标准方程是：22143xy，故选：B例2．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为nC．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±mnxD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线【答案】B【详解】对于A，当m＞n＞0时，有110nm，方程化为22111xymn，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，由m＝n＞0，方程变形为221xyn，该方程表示半径为1n的圆，故B错误；对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为myxn，故C正确；对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．故选：B.例3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线285yx的准线交于A、B两点，||43AB，则C的实轴长为（）A．22B．42C．4D．8【答案】B【详解】解：设等轴双曲线C的方程为22xy．(0)，①抛物线285yx，285p，45p，252p．抛物线的准线方程为25x．设等轴双曲线与抛物线的准线25x的两个交点(25,)Ay，(25B，)(0)yy，则|||(|3)24AByyy，23y．将25x，23y代入①，得22(25)(2)3，8等轴双曲线C的方程为228xy，即22188xy822a，C的实轴长为242a．故选：B．（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：222210,0xyabab，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若60MAN，则有（）A．渐近线方程为33yxB．322eC．233eD．渐近线方程为3yx【答案】AC【详解】双曲线C：2222xyab1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°32b，可得：2232abbab，即32ac，故e233．且2313bea，故渐近线方程为渐近线方程为33yx故选：AC．（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）以下说法正确的是（）A．椭圆22143xy的长轴长为4，短轴长为23B．离心率为23的椭圆较离心率为12的椭圆来得扁C．椭圆22134xy的焦点在x轴上且焦距为2D．椭圆22143xy的离心率为12【答案】ABD【详解】对于A：椭圆22143xy中，2,3ab，故长轴长为4，短轴长为23，故A正确；对于B：因为椭圆的离心率越大，该椭圆越扁，所以离心率为23的椭圆较离心率为12的椭圆来得扁，故B正确；对于C：椭圆22134xy的焦点在y轴上，故C错误；对于D：椭圆22143xy中，2,31abc，，故离心率为12cea；故选：ABD（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若椭圆C：22211xymm的一个焦点坐标为0,1，则下列结论中正确的是（）A．2mB．C的长轴长为3C．C的短轴长为2D．C的离心率为33【答案】AD【详解】由已知可得211mm，解得2m或1m(舍去)，椭圆C的方程为22132yx∴23a，22b，即3a，2b，长轴长为223a，短轴长222b，离心率1333cea.故选：AD.（多选题）例7．（2022·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C．点P的横坐标为±1D．△PF1F2的面积为2【答案】ACD【详解】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知F1F2＝22，所以以F1F2为直径的圆,圆心为00，，半径为2，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以由2200002,,xyyx解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为122122，故D正确．故选：ACD.（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆22194xy有相同的焦距，且一条渐近线方程为20xy，则双曲线C的方程可能为（）A．2214xyB．2214yxC．2214yxD．2214xy【答案】AD【详解】解：椭圆22194xy中，945c，焦距12||225FFc，双曲线C与椭圆22194xy有相同的焦距，一条渐近线方程为20xy，设双曲