第36讲 轨迹方程（原卷版）

第36讲轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,xy的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点,Mxy的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点,Mxy相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,xy表示,yx，再,yx将代入已知曲线方程，即得,xy关系式。【典型例题】例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A，B的坐标分别为(3,0)，(3,0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为23.（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求△MON的面积.例2．（2022·全国·高三专题练习）动点P到定点0,1F的距离与到定直线4y的距离之比为定值12.（1）求动点P的轨迹方程：（2）若直线l与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，且线段MN被直线210x平分，求直线l的斜率的取值范围.例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆C：22116xy，点()1,0A，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q.（1）求点Q的轨迹方程；（2）过点0,1B作直线MN交点Q的轨迹于M､N两点，设线段MN的中点为H，判断线段AH与HM的大小，并证明你的结论.例4.（2021·全国·高三专题练习）点B是椭圆22221xyab上的动点，(2,0)Aa为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆2212xy，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点(2,0)A且与圆22:212Bxy相内切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程D.（2）直线l过原点，且与轨迹D有两个交点,MN.轨迹D上是否存在一点Q，使△QMN为正三角形，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由.例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在ABC中，已知||42AB，且三内角A，B，C满足2sinsin2sinACB，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程.例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆2221:Cxyt,1t3,与椭圆2C：2219xy相交于A，B，C，D四点，点12,AA分别为2C的左，右顶点．(Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．【技能提升训练】1．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点(3,0)P，求椭圆的标准方程；（2）ABC两个顶点,AB的坐标分别是(6,0),(6,0)，边,ACBC所在直线的斜率之积等于49，求顶点C的轨迹方程.2．（2021·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy中，动点M到定点1,02的距离比到y轴的距离大12．求动点M的轨迹方程.3．（2021·全国·高三专题练习）过点1,0A的直线l与抛物线2:4Cyx交于P、Q两点.求线段PQ的中点B的轨迹方程.4．（2021·全国·高三专题练习）已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.（1）求点P的轨迹方程；（2）经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.5．（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，已知圆A：22(2)1xy与点0(2)B，，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．（1）PAB△的周长为10；（2）圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；（3）圆P与圆A外切，且与直线1x相切(P为动圆圆心)．6．（2020·全国·高三专题练习（理））已知1(0)2A，，B是圆：221()42xy(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程.7．（2021·全国·高三专题练习（文））如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.8．（2021·全国·高三专题练习）一动圆与圆22650xyx外切，同时与圆226910xyx内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?9．（2020·全国·高三（理））已知点M与两个定点00O(，)，(30)A，的距离的之比为12.（1）求点M的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）求点M到直线2130xy的距离的最大值和最小值.10．（2020·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且该双曲线过点(2,2).（1）求双曲线C的标准方程；（2）点A为双曲线C上任一点，F1､F2分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠F1AF2的角平分线的垂线，垂足为点P，求点P的轨迹方程.11．（2018·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知椭圆M：2222xyab1（a＞b＞0）的长轴长为22，离心率为22，过点（0，1）的直线l与M交于A，B两点，且APPB．（1）求M的方程；（2）求点P的轨迹方程．12．（2020·全国·高三专题练习）设(1,0)F，点M在x轴上，点P在y轴上，且2MNMP，PMPF，P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程；13．（2022·全国·高三专题练习）P是圆224xy上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足12DMDP．（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．14．（2019·安徽蚌埠·三模（理））已知点(2,0)E，(2,0)F，(,)Pxy，是平面内一动点，P可以与点,EF重合.当P不与,EF重合时，直线PE与PF的斜率之积为14.（1）求动点P的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.15．（2017·福建省福州第一中学一模（文））在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值.16．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）设圆222150xyx的圆心为A，直线l过点(1,0)B且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程．17．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）已知点P是直线230xy上的一个动点，定点(1,2)M，Q是线段PM延长线上的一点，且PMMQ，求点Q的轨迹方程．18．（2022·全国·高三专题练习）给定双曲线2212yx．过21A（，）的直线与双曲线交于两点1P及2P，求线段12PP的中点P的轨迹方程．19．（2012·河北衡水·高三阶段练习（理））设直线:0lxym与抛物线2:4Cyx交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点．（1）求ABF的重心G的轨迹方程；（2）如果2,mABF求的外接圆的方程．20．（2011·河北·高三专题练习）已知两定点(2,0)A、(1,0)B，如果动点P满足2PAPB，求点P的轨迹方程.21．（2021·全国·高二课时练习）已知ABC的两个顶点坐标4,0A，4,0B，ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程．22．（2021·江西·景德镇一中高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆221:28Cxyx内切，与圆222:20Cxyx外切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程E；（2）若直线(1)xtt与轨迹E交于A，B两点，直线2BC交轨迹E于另一个点M，连接AM交x轴于点N，试探究；是否存在t，使得2MCN的面积等于94？若存在，求出全部的t值；若不存在，请说明理由.