第4节 函数的概念及其表示(好题帮）-备战2023年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）（解析版）

第4节函数的概念及其表示（本卷满分150分，考试时间120分钟。）一、单选题1．已知函数22log,11,1xxfxxx，则3ff（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】23318f，238log83fff.故选：D.2．函数()ln(2)fxx的定义域是（）A．(0,2)B．(2,)C．(,2)D．(,2)(2,)【答案】C【解析】函数()ln(2)fxx需满足20x，解得2x，所以函数()fx的定义域为(,2).故选：C.3．如果函数()fx对任意,ab满足()()()fabfafb，且(1)2f，则(2)(4)(6)(2022)(1)(3)(5)(2021)ffffffff（）A．2022B．2024C．2020D．2021【答案】A【解析】根据题意，令1b，则(1)(1)()(1)(1)2()fafafafffa，所以(2)(4)(6)(2022)2(1)(3)(5)(2021)ffffffff，因为2,4,6，…，2022共有202210112个数，所以(2)(4)(6)(2022)10112=2022(1)(3)(5)(2021)ffffffff.故选：A.4．函数261xfxxxx的定义域为（）A．23，，B．3112，，C．2113，，D．2113，，【答案】C【解析】由26010xxx，解得：23x且1x.故选：C5．设函数()fx的定义域为R，满足()3(1)fxfx，且当(0,1]x时，()(1)fxxx.若对任意(,]xm，都有54()25fx，则m的最大值是（）A．125B．73C．94D．52【答案】A【解析】因为()3(1)fxfx，所以13fxfx，当0,1x时，2()fxxx的最小值为14；当1,0x时，10,1x，2(1)(1)(1)fxxx，由3()(1)fxfx知，1()(1)3fxfx，所以此时21()[(1)(1)]3fxxx，其最小值为112；同理，当(1x，2]时，2()3[(1)(1)]fxxx，其最小值为34；当(2x，3]时，2()9[(2)(2)]fxxx的最小值为94；作出如简图，因为95434254，要使54()25fx…，则有2549[(2)(2)]25xx…．解得125x„或135x…，要使对任意(,]xm，都有54()25fx…，则实数m的取值范围是12,5．故选：A．6．设xR，用[x]表示不超过x的最大整数，则[]yx称为高斯函数．例如：3,5.16．已知函数221xfxx，则函数]yfx的值域为（）A．{0，1}B．{1，1}C．{0，1}D．{1，0，1}【答案】D【解析】①当0x时，00f，②当0x时，222111xfxxxx（当且仅当1x时，等号成立），故01fx③当0x时，222111xfxxxx（当且仅当1x时，等号成立），故10fx，故函数yfx的值域为[1，1]，故函数yfx的值域为{1，0，1}，故选：D．7．已知函数21,12,1xxfxfxx，若对于任意的实数x，不等式24()1fxafx恒成立，则实数a的取值范围为（）A．1,2B．1,12C．3,4D．3,14【答案】A【解析】由题设，221,11,1xxfxxx，图象如下：所以221()1142xfxafxf，又()fx是R上的增函数，所以212xxa对Rx恒成立，所以22220xxa，则48(1)0a，即12a．故选：A．8．定义在R上的函数fx满足2log4,012,0xxfxfxfxx，则2022f（）A．1B．2C．1D．2【答案】D【解析】当0x时，()(1)(2)fxfxfx，(1)()(1)fxfxfx，两式相加可得(1)(2)fxfx，即(3)()fxfx∴(6)(3)fxfxfx，∴2(6337)(0)log422022fff.故选：D.二、多选题9．欧拉公式10ie被数学家们称为“宇宙第一公式”．（其中无理数e＝2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274…），如果记e小数点后第n位上的数字为y，则y是关于n的函数，记为yn．设此函数定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法正确的有（）A．2.71AB．2BC．115D．0,9BQ【答案】BC【解析】由题意得：yn，*nN，*AN，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9B，所以2.71A，2B，115，BQB，故选：BC10．下列各组函数是同一函数的是（）A．||xyx与1yB．2(1)yx与1yxC．2()xyx与2()xyxD．321xxyx与yx【答案】CD【解析】对于A：函数||xyx的定义域为0x，函数1y定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数2(1)yx定义域为R，化简可得1yx，与1yx解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数2()xyx定义域为0x，化简可得1(0)yx，函数2()xyx定义域为0x，化简可得1(0)yx，故为同一函数；对于D：函数321xxyx定义域为R，化简可得yx，与yx为同一函数.故选：CD11．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用1y（千元），乙厂的总费用2y（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（）A．甲厂的费用1y与礼品数量x之间的函数关系式为1112yxB．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用2y与礼品数量x之间的函数关系式为21733yxD．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用【答案】ABC【解析】根据图像甲厂的费用1y与礼品数量x满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用1y与礼品数量x满足的函数关系为1112yx，故A正确；当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用2y与礼品数量x之间的函数关系式为232yx，所以乙厂的加工费平均每个为31.52元，故B正确；易知当2x时，2y与x之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为21733yx，故C正确；当6x时，116142y，217136333y，因为12yy，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确.故选：ABC.12．已知函数3log(10),1()2,1xxxfxmx在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（）A．1B．0C．1D．2【答案】AB【解析】当1x时，函数3()log(10)fxx是单调递减的，1x，()(1)2fxf≥，当1x时，()2xfxm是单调递增的，1x，()2fxm，因函数()fx在R上存在最小值，则当且仅当22m，解得0m，所以实数m的可能取值为-1，0.故选：AB三、填空题13．函数21{5xfxx，，2113xx的值域是______________（用区间表示）【答案】[0,4]【解析】当21x-?时，2()(1)fxx，为开口向上，对称轴为1x的抛物线，所以()[0,4)fx，当13x时，()5fxx，为单调递减函数，所以()[2,4]fx，综上：()[0,4]fx，即()fx的值域为[0,4].故答案为：[0,4]14．若1324fxfxx，则fx______．【答案】12855xx【解析】由1324fxfxx①，将x用1x代替得1432ffxxx②，由①②得12855xfxx.故答案为：12855xx.15．已知函数22,0()e,0xxxfxx，满足对任意的xR，()fxax恒成立，则实数a的取值范围是_________【答案】22ea【解析】因为函数22,0()e,0xxxfxx，满足对任意的，()fxax恒成立，当0x时，22xax恒成立，即2axx恒成立，因为222xx，当且仅当2xx，即2x时取等号，所以22a.当0x时，0e0恒成立.当0x时，exax恒成立，即exax恒成立，设e()xgxx，22eee(1)()xxxxxgxxx，(0,1)x，()0gx，()gx为减函数，(1,)x，()0gx，()gx为增函数，所以min()(1)egxg，即ea，综上所述：22ea.故答案为：22ea.16．已知函数fx为定义在R上的单调函数，且2210xffxx，则fx在22,上的值域为______．【答案】7,104【解析】因为fx为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的tR，使得10ft，则22xfxxt，22tfttt，即2310tftt，因为函数23tyt为增函数，且223210，所以2t，222xfxx．易知fx在2,2上为增函数，且724f，210f，则fx在2,2上的值域为7,104．故答案为：7,104.四、解答题17．已知函数2()25fxaxx.(1)若函数定义域为R，求a的取值范围；(2)若函数值域为[0,)，求a的取值范围.【解析】(1)函数定义域为R，2250axx…对任意xR都成立，当0a时，250x…显然不恒成立，不合题意；当0a时，由二次函数的性质可知，需满足0Δ4200aa„，解得15a„，综上，实数a的取值范围为1(,]5(2)函数值域为[0,)，2()25gxaxx能取遍所有正数，1：0Δ4200aa…，解得105a„，2：0a，()25gxx符合题意实数a的取值范围为1,0518．定义在实数集上的函数fx的图象是一条连绵不断的曲线，xR，3266fxxfxxfx，且fx的最大值为1，最小值为0．(1)求1f与1f的值；(2)求fx的解析式．【解析】(1)令1x，则321111fff，得211111fff∴2111100fffx，（）∴11f令1x，则