第10节 利用导数研究函数的单调性（解析版）

第10节利用导数研究函数的单调性基础知识要夯实1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．核心素养要做实考点一利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝lnx＋1ax－1a(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．【解析】f′(x)＝21axax(x0)，①当a0时，f′(x)0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a0时，由f′(x)＝21axax0，得x1a；由f′(x)＝21axax0，得0x1a，∴函数f(x)在1a，上单调递增，在10a，上单调递减．综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a0时，函数f(x)在1a，上单调递增，在10a，上单调递减．【方法技巧】讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．[提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．【跟踪训练】1．函数f(x)＝ex－11x在定义域内为________函数(填“增”或“减”)．【答案】增【解析】由已知得函数f(x)的定义域为{x|x≠－1}．∵f(x)＝ex－11x，∴f′(x)＝ex＋21(1)x0.∴f(x)在定义域内为增函数．2．已知函数f(x)＝alnx＋x2(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝alnx＋x2，所以f′(x)＝ax＋2x＝22xax.①当a0时，f′(x)0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝2a(负值舍去)，当0x2a时，f′(x)0，所以函数f(x)在02a，上单调递减；当x2a时，f′(x)0，所以函数f(x)在2a，上单调递增．综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a0时，函数f(x)在02a，上单调递减，在2a，上单调递增．考点二利用导数求函数的单调区间【例2】(2022·湘东五校联考节选)已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．当x1时，求f(x)的单调区间．【解析】f′(x)＝1x·x＋lnx－k－1＝lnx－k，①当k≤0时，因为x1，所以f′(x)＝lnx－k0，所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．②当k0时，令lnx－k＝0，解得x＝ek，当1xek时，f′(x)0；当xek时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．综上所述，当k≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当k0时，函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．【提醒】若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．【跟踪训练】1．若幂函数f(x)的图象过点2122，，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为()A．(－∞，0)B．(－∞，－2)C．(－2，－1)D．(－2,0)【答案】D【解析】设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点2122，，所以12＝22α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)0，得－2x0，故函数g(x)的单调递减区间为(－2,0)．2．已知函数f(x)＝4xax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－2ax－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝544xx－lnx－32(x0)，则f′(x)＝22454xxx，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，所以舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)0，故f(x)在(0,5)内单调递减；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内单调递增．故f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞)．考点三函数单调性的应用【例3】设函数f(x)＝13x3－2ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得(0)1'(0)0ff即1,0,cb(2)由(1)知f(x)＝13x3－2ax2＋1，则g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，即x∈(－2，－1)时，a2xxmax＝－22，当且仅当x＝2x，即x＝－2时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22)．【变式训练】1.[变条件]本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内为减函数，其他条件不变，求实数a的取值范围．【解析】∵g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，∴x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴'(2)0,'(1)0,gg即4220,120,aa解得a≤－3.即实数a的取值范围是(－∞，－3]．2.[变条件]本例(2)变为：若g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，其他条件不变，求实数a的值．【解析】∵g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.3.[变条件]本例(2)变为：若g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数a的取值范围．【解析】由1知g(x)在(－2，－1)内为减函数时，实数a的取值范围是(－∞，－3]．若g(x)在(－2，－1)内为增函数，则a≥x＋2x在(－2，－1)内恒成立，又∵y＝x＋2x在(－2，－2)内单调递增，在(－2，－1)内单调递减，∴y＝x＋2x的值域为(－3，－22)，∴实数a的取值范围是[－22，＋∞)，∴函数g(x)在(－2，－1)内单调时，a的取值范围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)，故g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数a的取值范围是(－3，－22)．[解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．达标检测要扎实一、单选题1．已知函数4elnxfxkxx，当1x时，不等式1fxx恒成立，则k的取值范围是（）A．,eB．,4C．2,eD．,0【答案】B【解析】因为1x，所以ln0x，则当1x时，不等式1fxx恒成立等价于4ln4e1e1lnlnxxxxxxkxx．设e1xgxx，则e1xgx．当0x时，0gx，gx单调递增；当0x时，0gx，gx单调递减．则00gxg，即e10xx，即e1xx，当且仅当0x时，等号成立．设4lnhxxx，则441xhxxx．由0hx，得4x；由0hx，得04x．则hx在0,4上单调递减，在4,上单调递增．因为444ln40h，44ee160h，所以0hx有解，则4lne4ln1xxxx，当且仅当4ln0xx时，等号成立，从而4lne14ln114lnlnxxxxxxxx，故4k．故选：B2．若函数2()lnfxaxbx在点1,1f处的切线方程为yx，则函数yfx的增区间为（）A．(0,1)B．20,2C．2,2D．2,12【答案】C【解析】将1x代入yx得到1y，所以切点为1,1.因为2afxbxx，所以12111ln111fabafabb，所以2222221212xxxfxxxxx0x，当2,2x时，0fx，fx为增函数.所以函数yfx的增区间为2,2.故选：C3．设函数fx是偶函数fx（xR）的导函数，10f，当0x时，0xfxfx，则使得0fx成立的x的取值范围是（）A．,10,1B．1,01,C．,11,0UD．,11,【答案】D【解析】令fxgxx，则2xfxfxgxx，∵0xfxfx，∴0gx，∴gx在,0上为减函数，又∵gxgx，∴函数gx为定义域上的奇函数，gx在0,上为减函数.又∵10g，∴10g，∴不等式00fxxgx，∴0x，0gx或0x，0gx，∴1x，或1x，∵0fx成立的x的取值范围是,11,，故选：D4．已知函数xxfxe，记2log13af，3log11bf，1ln2cf，则（）A．acbB．abcC．bcaD．bac【答案】D【解析】xxfxe，1xxfxe，令0fx，解