第09节 简单的线性规划问题（解析版）

第9节简单的线性规化问题基础知识要夯实1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.3.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题[微点提醒]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.判定二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方.(2)若B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.典型例题剖析考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)在平面直角坐标系中，不等式组30,320,0xyxyy表示的平面区域的面积是()A.32B.3C.2D.23【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域是以点O(0，0)，B(－2，0)和A(1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝3.【规律方法】1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【训练1】(2022·玉溪模拟)已知不等式组2,1,0yxykxy所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k的值为()A.－1B.－12C.12D.1【答案】D【解析】由题意知k0，且不等式组2,1,0yxykxy所表示的平面区域如图所示.∵直线y＝kx－1与x轴的交点为1,0k，直线y＝kx－1与直线y＝－x＋2的交点为113,12kkk，∴三角形的面积为12×12k×211kk＝14，解得k＝1或k＝27，经检验，k＝27不符合题意，∴k＝1.考点二线性规划中的最值问题角度1求线性目标函数的最值【例2－1】(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)若变量x，y满足约束条件230,240,20xyxyx则z＝x＋13y的最大值是________.【答案】3【解析】法一作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点A(2，3)时，z＝x＋13y取得最大值，故zmax＝2＋13×3＝3.法二画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2，3)，(2，－7)，(－2，1)，将三点坐标代入，可知zmax＝2＋13×3＝3.角度2求非线性目标函数的最值【例2－2】(1)(2022·济南一模)若变量x，y满足约束条件1,0,220,xxyxy则yx的最大值为()A.1B.3C.32D.5【答案】C【解析】不等式组表示平面区域是以(1，1)，312，，(2，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略).yx表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点312，与原点的连线斜率最大，即yx的最大值为321＝32.角度3线性规划中的参数问题【例2－3】(2022·西安质检)已知实数x，y满足约束条件0,10,240yyxyx若目标函数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为()A.2B.1C.1或2D.－1【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.由z＝y－ax(a≠0)得y＝ax＋z.因为a≠0，所以要使z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，故必有a0.①当直线y＝ax＋z与直线AC重合，即a＝1时，直线y＝ax＋z在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，且最优解有无数个，符合条件；②当直线y＝ax＋z与直线BC重合时，直线y＝ax＋z在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，不符合条件.故a＝1.【跟踪训练】1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.一般在平面区域的顶点或边界处取得.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题.常见代数式的几何意义：(1)22xy表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，22()()xayb表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(2)yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【训练2】(2022·茂名二模)若实数x，y满足条件40,220,0,0,xyxyxy则12xy的最大值为()A.116B.12C.1D.2【答案】D【解析】作出40,220,0,0,xyxyxy的可行域如图，求12xy的最大值转化为求x－y的最小值，令z＝x－y，由图知当直线z＝x－y经过点(0，1)时，z取得最小值，即zmin＝0－1＝－1，所以12xy的最大值为112＝2.考点三实际生活中的线性规划问题【例3】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.【答案】216000【解析】设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为1.50.5150,0.390,53600,0,*,0,*,xyxyxyxxNyxN目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).【规律方法】1.解线性规划应用题的步骤.(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题.【训练3】某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时.A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为()A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元【答案】B【解析】设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则0,0,23480,26960,xyxyzxyxy作出可行域如图中阴影部分中的整点，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150，60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.[思维升华]1.求最值：求二元一次目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界处取得.2.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题.[易错防范]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值.达标检测要扎实一、单选题1．已知实数,xy满足约束条件10,101xyxyx，则2zxy的取值范围为（）A．1,0B．1,2C．0,2D．2,1【答案】B【解析】如图画出可行域，由2zxy，则2yxz，当直线2yxz过点C时，z取最大值；当直线2yxz过点B时，z取最小值.由题可得0,1,1,0BC，所以maxmin2,1zz故选：B.2．已知实数,xy满足条件：0301xyxyx，则1yx的最大值为（）A．12B．2C．35D．1【答案】C【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，1yx表示可行域内的点与定点1,0的连线的斜率.解方程组030xyxy的33,22A,1yx的最大值为3323512故选C.3．若实数,xy满足221xy，则|1|231xyxy的最大值是（）A．5B．235C．4D．174【答案】A【解析】根据题意画出图形如图：①当1xy时，|1|23134zxyxyxy，则问题转化为，当2211xyxy时，求34zxy的最大值，当221xy与直线34zxy相切时，z有最大值，此时，切点为34,55，此时，z有最大值5，②当1xy时，|1|23122zxyxyxy，则问题转化为，当2211xyxy时，求22zxy的最大值，当221xy与直线22zxy相交于0,1，z有最大值，此时，此时，z有最大值4，综上所述，|1|231xyxy的最大值是5故选：A4．已知实数x，y满足205yxxyxy，则22zxy的最大值为（）A．252B．254C．258D．1259【答案】D【解析】根据实数x，y满足205yxxyxy，画出可行域为AOB（内部及其边界），其中55,22A，510,33B，0,0O，22zxy表示坐标原点与可行域内点距离的平方，所以点510,33B与点O距离最大，所以22max510125339z，故选：D.5．若x、y满足线性约束条件35032702510xyxyxy，则33yx（）A．有最小值2B．有最小值14C．有最大值14D．有最大值2【答案】D【解析】如图，根据题意绘出