第11节 利用导数解决函数的极值最值（原卷版）

第11节利用导数解决函数的极值最值基础知识要夯实1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数fx在x0处有极值的必要不充分条件是f′x0＝0，极值点是f′x＝0的根，但f′x＝0的根不都是极值点例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是极值点.②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.核心素养要做实考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点【例1】(2020·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极小值点及极大值．【方法技巧】求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．考法(二)已知函数极值点或极值求参数的值或范围【例2】(2020·北京高考节选)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【方法技巧】网Z§X§X§K]已知函数极值点或极值求参数的2个要领列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性[来源:学科网][题组训练]1．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点2．(2020·广州高中综合测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为()A．(－3,3)B．(－11,4)C．(4，－11)D．(－3,3)或(4，－11)3．设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a0)．(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．考点二利用导数解决函数的最值问题【例2】(2020·北京高考)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间02，上的最大值和最小值．[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．【跟踪训练】1.(2020·珠海摸底)如图，将一张16cm×10cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________cm3.2．已知函数f(x)＝lnx－ax.(1)若a0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为32，求实数a的值．达标检测要扎实一、单选题1．对任意1,3x，不等式lnxmexxx恒成立，则实数m的取值范围为（）．A．121,ln22eB．121,ln22eC．131,ln33eD．,22．已知函数22e1xfx，若不等式12ln2faxfx对0,x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．20,eB．2,eC．20,eD．2,e3．若两曲线ln1yx与2yax存在公切线，则正实数a的取值范围是（）A．0,2eB．31e,2C．310,e2D．2e,4．已知函数2()2lnfxaxxx有两个不同的极值点1x，2x，若不等式1212fxfxxxt恒成立，则t的取值范围是（）A．4,B．5,C．6,D．7,5．已知函数321132fxxxcxd有极值，则c的取值范围为（）A．14cB．14cC．14cD．14c6．若函数2()xxfxe的极大值点与极大值分别为a，b，则（）A．ababB．aabbC．babaD．abba7．若对任意的实数0,ln0xxxxa恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(,1]B．(,1]C．[1,)D．[1,)8．已知函数e1xfxx，则（）A．fx在0,上为增函数B．fx在0,上为减函数C．fx在0,上有极大值D．fx在0,上有极小值9．设函数xefxxa，若fx的极小值为e，则a（）A．12B．12C．32D．210．已知1,0,()sin,0,xxfxxx若123123,fxfxfxxxx，则1232232xxx的最大值是()A．3B．522C．833D．171611．已知函数22lnfxaxxx有两个不同的极值点12,xx，且不等式12124fxfxxxt恒成立，则实数t的取值范围是（）A．1,B．5,C．22ln2,D．1ln2,12．已知函数2()xfxxae，则“1a”是“()fx有极值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知22()xfxxxae，若fx存在极小值，则a的取值范围是_______________________．14．222(2sin),()sincos,(0)axxdxfxxxxxa，则()fx的最大值为_____________.15．已知函数fx的定义域为R，它的导函数fx的图象如图所示，则函数yfx的极值点有______个.16．函数|1|lnfxxx的最小值为______．三、解答题17．已知函数ln1xaxfxx，aR.（1）求fx的单调区间，并求当1a时，fx的最大值；（2）若对任意的0,x，xfxe恒成立，求a的取值范围.18．已知函数22ln41fxxaxxaR．（1）若22gxfxx存在极值，求实数a的取值范围；（2）若0a，当1,x时，0fx恒成立，且0fx有且只有一个实数解，证明：304a．19．已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a0时，讨论函数g（x）=()()fxfaxa的单调性．20．已知函数2()2ln(0)fxxaxx在1x处的切线l与直线40xy平行，函数2()()4gxfxbxx．（1）求实数a的值；（2）若函数()gx存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设1212,xxxx是函数()gx的两个极值点，证明：1212(21)gxgxbxx．21．设函数exfx，lngxx.(1)若1fxax，求a的值(2)证明：1fxxgxxx.22．已知函数321()(0)3fxxmxm．（1）当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；（2）当f(x)的极大值不小于23时，求m的取值范围．